Algebretta

[Sisifo]

Scusa karl... dove si può trovare una dimostrazione del discriminante per le equazioni di terzo grado? Lo so che è una piccolezza, ma io non la conoscevo

[Marco]

dove si può trovare una dimostrazione del discriminante per le equazioni di terzo grado?

Ciao. Io la so fare così:

siano $ a, b, c $ le tre soll. del polinomio di 3° grado $ x^3+px+q $.

$ \Delta := (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2 = 4p^3 + 27q^2 $. (**)

N.B.: è una questione terminologica, ma per me, il discriminante non è, come invece dice Karl, $ p^3/27 + q^2/4 $. Entrambe le convenzioni però sono usate. Io mi attengo a quella che sono solito usare. Il segno ovviamente è lo stesso in entrambi i casi, dato che cambia solo il "fattore di scala".

Se le tre radici sono reali e distinte, ovviamente, $ \Delta > 0 $. Se invece due coincidono, altrettanto ovviamente $ \Delta = 0 $.

Se invece due radici sono complesse coniugate, $ \Delta $ è della forma $ z \bar z w^2 $, con $ z, w $ numeri complessi e $ w $ immaginario puro. E' noto che $ z \bar z $ è sempre reale e positivo, mentre $ w^2 $ è reale e negativo sse $ w $ è immaginario puro, per cui risulta $ \Delta < 0 $. []

La cosa rognosa è dimostrare (**), che però è vera. Se non ci credete, espandete i prodotti e fate il conto (c'è anche un modo furbo per dimostrarla, ma passa attraverso le matrici di Sylvester e lasciamo perdere...).

Ciao. M.