Disuguaglianza Fibonaccica
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Ricorrere allo stesso modo significa "avere l'$ n+1 $-esimo termine e i precedenti legati dalla stessa relazione".
Essere uguali significa, prese due successioni $ \{a_n\},\{b_n\} $, che $ a_i=b_i\,\ \forall i $
Ad esempio, presi
$ \{a_n\} $
$ a_1=1 $
$ a_{n+1}=a_n+n $ per $ n\ge 1 $
$ \{b_n\} $
$ b_1=7 $
$ b_{n+1}=b_n+n $ per $ n\ge 1 $
Avremo che le due successioni ricorrono allo stesso modo ma non sono uguali
Essere uguali significa, prese due successioni $ \{a_n\},\{b_n\} $, che $ a_i=b_i\,\ \forall i $
Ad esempio, presi
$ \{a_n\} $
$ a_1=1 $
$ a_{n+1}=a_n+n $ per $ n\ge 1 $
$ \{b_n\} $
$ b_1=7 $
$ b_{n+1}=b_n+n $ per $ n\ge 1 $
Avremo che le due successioni ricorrono allo stesso modo ma non sono uguali
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poi ancora ( scusate se sto trasformando questa discussione in una lezione personale se esagero ditemi pure di fermarmi ) una volta che hai ottenuto che la sequenza $ a_n $ ricorre allo stesso modo di $ F_n $ non basta egualiare i primi due termini delle successioni invece di introdurre quei coefficenti e $ b_n $? provo a rispondermi da solo: se avessimo fatto in quel modo saremmo riusciti ad egualiare $ F_1 $ con $ a_1 $ ma non $ F_2 $ con $ a_2 $ perche abbiamo bisogno di due variabili essendo $ F_1 = F_2 $ giusto?
Non serve ricorrere subito alla forma esplicita, basta uno shift degli indici...
Poniamo G[n] = sum[j=1..n] F[j]/(2^j)
G[n] = sum[j=1..n] F[j]/(2^j) = 3/4 + sum[j=3..n] F[j]/(2^j) =
3/4 + sum[j=3..n] (F[j-1]+F[j-2])/(2^j) =
3/4 + sum[j=3..n] F[j-2]/(2^j) + sum[j=3..j] F[j-1]/(2^j) =
3/4 + sum[j=1..n-2] F[j]/(2^(j+2)) + sum[j=2..n-1] F[j]/(2^(j+1)) =
1/2 + G[n-2]/4 + G[n-1]/2
{ G[n+2] = 1/2 + G[n+1]/2 + G[n]/4
{ G[1]=1/2
{ G[2]=3/4
Questo è un sistema di ricorrenze lineari facilmente risolubile
[se siete digiuni - look at: "Generating Functionology" - del magico Professor Wilf]
e porta a G[n] = 2 - F[n+3]/(2^n)
che converge a 2 dato che la più grande radice (in modulo)
del polinomio caratteristico associato alla ricorrenza di Fibonacci è minore di 2.
Poniamo G[n] = sum[j=1..n] F[j]/(2^j)
G[n] = sum[j=1..n] F[j]/(2^j) = 3/4 + sum[j=3..n] F[j]/(2^j) =
3/4 + sum[j=3..n] (F[j-1]+F[j-2])/(2^j) =
3/4 + sum[j=3..n] F[j-2]/(2^j) + sum[j=3..j] F[j-1]/(2^j) =
3/4 + sum[j=1..n-2] F[j]/(2^(j+2)) + sum[j=2..n-1] F[j]/(2^(j+1)) =
1/2 + G[n-2]/4 + G[n-1]/2
{ G[n+2] = 1/2 + G[n+1]/2 + G[n]/4
{ G[1]=1/2
{ G[2]=3/4
Questo è un sistema di ricorrenze lineari facilmente risolubile
[se siete digiuni - look at: "Generating Functionology" - del magico Professor Wilf]
e porta a G[n] = 2 - F[n+3]/(2^n)
che converge a 2 dato che la più grande radice (in modulo)
del polinomio caratteristico associato alla ricorrenza di Fibonacci è minore di 2.
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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