Disuguaglianza Fibonaccica

[AlessandroSfigato]

che significa ricorrono allo stesso modo? e qualè la differenza tra riccorrere allo stesso modo ed essere uguali?

[Boll]

Ricorrere allo stesso modo significa "avere l'$ n+1 $-esimo termine e i precedenti legati dalla stessa relazione".
Essere uguali significa, prese due successioni $ \{a_n\},\{b_n\} $, che $ a_i=b_i\,\ \forall i $

Ad esempio, presi

$ \{a_n\} $
$ a_1=1 $
$ a_{n+1}=a_n+n $ per $ n\ge 1 $

$ \{b_n\} $
$ b_1=7 $
$ b_{n+1}=b_n+n $ per $ n\ge 1 $

Avremo che le due successioni ricorrono allo stesso modo ma non sono uguali

[AlessandroSfigato]

quindi dire che $ a_n $ e $ b_n $ ricorrono allo stesso modo significa dire $ a_n $ ha tutti i termini legati dalla stessa relazione ( ricorre allo stesso modo con se stessa) che è la stessa che lega tutti i termini di $ b_n $ giusto?

[Boll]

Giusto

[AlessandroSfigato]

poi ancora ( scusate se sto trasformando questa discussione in una lezione personale se esagero ditemi pure di fermarmi ) una volta che hai ottenuto che la sequenza $ a_n $ ricorre allo stesso modo di $ F_n $ non basta egualiare i primi due termini delle successioni invece di introdurre quei coefficenti e $ b_n $? provo a rispondermi da solo: se avessimo fatto in quel modo saremmo riusciti ad egualiare $ F_1 $ con $ a_1 $ ma non $ F_2 $ con $ a_2 $ perche abbiamo bisogno di due variabili essendo $ F_1 = F_2 $ giusto?

[Boll]

Giusto, i coefficenti sono semplicemente le effettive radici dell'equazioni, che fino a lì ho chiamato $ \alpha $ e $ \beta $. E, come hai detto tu, non potevo usare una sola incognita sennò il sistema non era risolvibile

[elianto84]

Non serve ricorrere subito alla forma esplicita, basta uno shift degli indici...

Poniamo G[n] = sum[j=1..n] F[j]/(2^j)

G[n] = sum[j=1..n] F[j]/(2^j) = 3/4 + sum[j=3..n] F[j]/(2^j) =

3/4 + sum[j=3..n] (F[j-1]+F[j-2])/(2^j) =

3/4 + sum[j=3..n] F[j-2]/(2^j) + sum[j=3..j] F[j-1]/(2^j) =

3/4 + sum[j=1..n-2] F[j]/(2^(j+2)) + sum[j=2..n-1] F[j]/(2^(j+1)) =

1/2 + G[n-2]/4 + G[n-1]/2

{ G[n+2] = 1/2 + G[n+1]/2 + G[n]/4
{ G[1]=1/2
{ G[2]=3/4

Questo è un sistema di ricorrenze lineari facilmente risolubile
[se siete digiuni - look at: "Generating Functionology" - del magico Professor Wilf]

e porta a G[n] = 2 - F[n+3]/(2^n)

che converge a 2 dato che la più grande radice (in modulo)
del polinomio caratteristico associato alla ricorrenza di Fibonacci è minore di 2.

[Boll]

La soluzione di elianto è quella umana... :D:D

[psion_metacreativo]

guardate qui