SOMMATORIA
- Franchifis
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pisa
Non esattamente il dio celeste. Basta notare che per le potenze 0-esime dei numeri naturali utilizzi un polinomio di grado 1 (somma = n) e per le potenze 1-esime utilizzi un polinomio di grado 2 (somma = n(n+1)/2) sembra quindi ragionevole pensare che per i quadrati verrebbe fuori un polinomio di terzo grado, e' qui che entra in gioco l'intuizione. Naturalmente l'intuizione potrebbe essere sbagliata (e se e' sbagliata te ne accorgi subito quando vai a fare l'induzione e vedi che non funziona).
C'è un metodo simpatico per trovare la formula della somma delle potenze k-esime degli interi da 1 a n. Provo a descriverlo per k = 2, ma si generalizza facilmente.
Scriviamo come segue le potenze (k+1)-esime da 2 a n+1 e sviluppiamo le potenze dei binomi:
$ \\ (1 + 1)^3 = 1 + 3\cdot1 + 3\cdot1^2 + 1^3\\ (1 + 2)^3 = 1 + 3\cdot2 + 3\cdot2^2 + 2^3\\ .\\ .\\ .\\ (1 + n)^3 = 1 + 3n + 3n^2 + n^3 $
Chiamiamo per semplicità C la somma dei primi n cubi, Q la somma dei quadrati, S la somma dei primi n numeri. Allora, sommando tutte le uguaglianze membro a membro, abbiamo:
$ C + (n+1)^3 - 1 = n + 3S + 3Q + C $
La C si semplifica, e sappiamo già che $ S = \frac{n(n+1)}{2} $, svolgendo i calcoli viene fuori la formula cercata.
Si può osservare che questo metodo, oltre a dimostrare (ovviamente si fa per induzione) che la somma delle prime n potenze k-esime è un polinomio di grado k+1, ha il vantaggio di fornire una costruzione.
Scriviamo come segue le potenze (k+1)-esime da 2 a n+1 e sviluppiamo le potenze dei binomi:
$ \\ (1 + 1)^3 = 1 + 3\cdot1 + 3\cdot1^2 + 1^3\\ (1 + 2)^3 = 1 + 3\cdot2 + 3\cdot2^2 + 2^3\\ .\\ .\\ .\\ (1 + n)^3 = 1 + 3n + 3n^2 + n^3 $
Chiamiamo per semplicità C la somma dei primi n cubi, Q la somma dei quadrati, S la somma dei primi n numeri. Allora, sommando tutte le uguaglianze membro a membro, abbiamo:
$ C + (n+1)^3 - 1 = n + 3S + 3Q + C $
La C si semplifica, e sappiamo già che $ S = \frac{n(n+1)}{2} $, svolgendo i calcoli viene fuori la formula cercata.
Si può osservare che questo metodo, oltre a dimostrare (ovviamente si fa per induzione) che la somma delle prime n potenze k-esime è un polinomio di grado k+1, ha il vantaggio di fornire una costruzione.
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
ok ragazzi se siete curiosi di sistemare il tutto guardate qui.
No, A.S.: sta usando un fatto della teoria dei polinomi. La sequenza delle differenze prime di un polinomio di grado n è un polinomio di grado n-1 (e viceversa, la serie parziale di un polinomio di grado n-1 è un polinomio di grado n).AlessandroSfigato ha scritto:ad esempio, però, anke il fatto che tu ipotizzi che il polinomio sia di grado m+1 ti è stato ispirato da un dio celeste
[una specie, se vogliamo, di derivata/integrale discreto...]
Chi lo dimostra?
Qui vogliamo calcolare la somma delle m-esime potenze (quindi la serie parziale del polinomio di grado m $ P(x) = x^m $.
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La somma dei quadrati è una formula arcinota e su questo stesso Forum è stata dimostrata in una manciata di modi diversi. E, per chi era a Cesenatico, lo ha fatto anche Jan Pataki nella sua conferenza. Provate un po' cliccando qui.
Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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Ringrazio Franchifis per l'apprezzamento ma, e cio' vale anche come risposta ad Alessandro, occorre dire che il procedimento da me usato
si trova su quasi tutti i testi di algebra elementare.Niente di
sovrannaturale quindi.Come ha detto anche Marco, vi sono molte altre strade
( alcune di natura piuttosto elevata) per calcolare somme di potenze di interi
positivi.Se ne e' parlato spesso nel vecchio forum.
si trova su quasi tutti i testi di algebra elementare.Niente di
sovrannaturale quindi.Come ha detto anche Marco, vi sono molte altre strade
( alcune di natura piuttosto elevata) per calcolare somme di potenze di interi
positivi.Se ne e' parlato spesso nel vecchio forum.