Per una volta propongo di verificare una (facile?) eguaglianza.
Siano a,b,c tre reali non nulli e tali che a+b+c<>o.
Dimostrare che se e' :
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{1}{a+b+c} $
e' pure:
$ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}= \frac{1}{a^n+b^n+c^n} $
essendo n un intero dispari.
Non la solita diseguaglianza
- mattilgale
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scusa...
un chiarimento ...
ma
$ a+b+c>0 $ o $ a+b+c<0 $???
ma
$ a+b+c>0 $ o $ a+b+c<0 $???
"la matematica è il linguaggio con cui Dio ha plasmato l'universo"
Galileo Galilei
Galileo Galilei
L'eguaglianza di partenza è:
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} $
Svolgendo i calcoli troviamo:
$ \frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a+b+c} $
$ abc=(a+b+c)(ab+ac+bc) $
Svolgendo ancora i conti si trova:
$ (a+b)(b+c)(a+c)=0 $
Dunque due numeri sono opposti,e per simmetria ammettiamo che siano a e b.
Poniamo dunque b=-a
Analizziamo ora la seconda eguaglianza:
se n é pari, otteniamo
$ \frac{2}{a^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n} $
impossibile
se invece n è dispari, otteniamo
$ \frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n} $
che è vera.
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} $
Svolgendo i calcoli troviamo:
$ \frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a+b+c} $
$ abc=(a+b+c)(ab+ac+bc) $
Svolgendo ancora i conti si trova:
$ (a+b)(b+c)(a+c)=0 $
Dunque due numeri sono opposti,e per simmetria ammettiamo che siano a e b.
Poniamo dunque b=-a
Analizziamo ora la seconda eguaglianza:
se n é pari, otteniamo
$ \frac{2}{a^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n} $
impossibile
se invece n è dispari, otteniamo
$ \frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n} $
che è vera.