Non la solita diseguaglianza

[karl]

Per una volta propongo di verificare una (facile?) eguaglianza.
Siano a,b,c tre reali non nulli e tali che a+b+c<>o.
Dimostrare che se e' :
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{1}{a+b+c} $
e' pure:
$ \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}= \frac{1}{a^n+b^n+c^n} $
essendo n un intero dispari.

[mattilgale]

un chiarimento ...

ma
$ a+b+c>0 $ o $ a+b+c<0 $???

[AleX_ZeTa]

dovrebbe essere

$ a + b + c \neq 0 $

[Igor]

L'eguaglianza di partenza è:

$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} $

Svolgendo i calcoli troviamo:

$ \frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a+b+c} $

$ abc=(a+b+c)(ab+ac+bc) $

Svolgendo ancora i conti si trova:

$ (a+b)(b+c)(a+c)=0 $

Dunque due numeri sono opposti,e per simmetria ammettiamo che siano a e b.

Poniamo dunque b=-a

Analizziamo ora la seconda eguaglianza:

se n é pari, otteniamo

$ \frac{2}{a^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n} $

impossibile

se invece n è dispari, otteniamo

$ \frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n} $

che è vera.

[karl]

Veramente buona la soluzione di Igor piuttosto diversa dalla mia.

[karl]

Veramente buona la soluzione di Igor piuttosto diversa dalla mia.
Il simbolo "<>",che vuol dire "diverso" come ha ben detto Alex_Zeta, l'ho mutuato dal linguaggio Delphi (una sorta di Pascal visuale) con cui mi diverto a programmare.