catena di due disuguaglianze (credo) faciline
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catena di due disuguaglianze (credo) faciline
sicuramente a qualcuno parrà di aver già visto questa catena di disuguaglianze, vediamo chi è il primo a dirmi dove...
a me manca la prima, sono sicuro che basta qualche manipolazione facile ma non mi è venuta in mente
$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) \leq 2(x^2+y^2+z^2) $
per la seconda ho applicato una disuguaglianza nota, ma non dubito ci sia qualcosa di più facile, vediamo che ne uscirà
lorenzo
a me manca la prima, sono sicuro che basta qualche manipolazione facile ma non mi è venuta in mente
$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) \leq 2(x^2+y^2+z^2) $
per la seconda ho applicato una disuguaglianza nota, ma non dubito ci sia qualcosa di più facile, vediamo che ne uscirà
lorenzo
Re: catena di due disuguaglianze (credo) faciline
Uhm,sei sicuro che valga?Con $ x=100 , y=1 , z=1 $ risulta $ 10002 \leq 402 $jabberwocky ha scritto:
$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) $
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
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Per la seconda ci sono tipo una decina di modi, tempo fa me li ero elencati tutti, te ne dico un po' perchè non ho nulla da fare, così do anche un poì di esempi ai meno esperti in questo campo.
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo meno immediato
Applicando Newton alle somme simmemtriche elementari di tre elementi avremo
$ a=x+y+z $
$ b=xy+yz+zx $
$ \displaystyle \left(\frac{a}{\binom{3}{2}}\right)^2\ge \frac{b}{\binom{3}{1}}*1 $
$ a^2\ge 3b $
$ (x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge 3xy+3yz+3zx $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo più immediato
Per il teorema detto bunching
$ \displaystyle \sum_{sym}x^2\ge \sum_{sym}xy $
$ 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo più semplice
$ (x-y)^2\ge 0 $
$ (y-z)^2\ge 0 $
$ (z-x)^2\ge 0 $
sommandole tutte e tre
$ 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo più bello
Per AM-GM alla coppia $ (x^2,y^2) $
$ \displaystle \frac{x^2+y^2}{2}\ge xy $
Per AM-GM alla coppia $ (y^2,z^2) $
$ \displaystle \frac{y^2+z^2}{2}\ge yz $
Per AM-GM alla coppia $ (z^2,x^2) $
$ \displaystle \frac{z^2+x^2}{2}\ge xy $
sommandole avremo proprio
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo meno immediato
Applicando Newton alle somme simmemtriche elementari di tre elementi avremo
$ a=x+y+z $
$ b=xy+yz+zx $
$ \displaystyle \left(\frac{a}{\binom{3}{2}}\right)^2\ge \frac{b}{\binom{3}{1}}*1 $
$ a^2\ge 3b $
$ (x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge 3xy+3yz+3zx $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo più immediato
Per il teorema detto bunching
$ \displaystyle \sum_{sym}x^2\ge \sum_{sym}xy $
$ 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo più semplice
$ (x-y)^2\ge 0 $
$ (y-z)^2\ge 0 $
$ (z-x)^2\ge 0 $
sommandole tutte e tre
$ 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
Il modo più bello
Per AM-GM alla coppia $ (x^2,y^2) $
$ \displaystle \frac{x^2+y^2}{2}\ge xy $
Per AM-GM alla coppia $ (y^2,z^2) $
$ \displaystle \frac{y^2+z^2}{2}\ge yz $
Per AM-GM alla coppia $ (z^2,x^2) $
$ \displaystle \frac{z^2+x^2}{2}\ge xy $
sommandole avremo proprio
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
E' una sommatoria ke si ottiene permutando le variabili.hydro ha scritto:che cosa vuol dire questa scrittura?Boll ha scritto: Per il teorema detto bunching
$ \displaystyle \sum_{sym}x^2\ge \sum_{sym}xy $
Ad esempio $ \sum\limits_{sym} {xyz} = xyz + xzy + yxz + yzx + zxy + zyx = 6xyz $
$ \sum\limits_{sym} {x^2 y} = x^2 y + x^2 z + y^2 x + y^2 z + z^2 x + z^2 y $
$ \sum\limits_{sym} x y = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2\left( {xy + xz + yz} \right) $
E' una notazione molto utile nella teria delle disuguaglianze.
Il numero delle variabili coinvolte dipende dal testo;cmq non capita spesso di dover cambiare il numero di variabili nello stesso problkema
- HumanTorch
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Simpatico corollario: in un parallelogramma il valore della somma dei quadrati delle due diagonali è maggiore o uguale del valore della superficie dello stesso!
Ultima modifica di HumanTorch il 11 mag 2005, 23:11, modificato 1 volta in totale.
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Re: catena di due disuguaglianze (credo) faciline
perché siano i lati di un triangolo dev'esserejabberwocky ha scritto:$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) $
x=a+b
y=b+c
z=a+c
sostituendo
$ 2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac $ $ \leq 2(a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac) $
da cui,
$ ab+bc+ac \leq 3ab+3bc+3ac $
sempre vera per a, b, c positivi
ps: la mia prima disuguaglianza!!
"Bisogna vivere come si pensa, se no, prima o poi, ci si troverà a pensare come si è vissuto"
Paul Borget
Paul Borget
Re: catena di due disuguaglianze (credo) faciline
Per la disuguaglianza triangolarejabberwocky ha scritto: $ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) $, con $ x,y,z $ lati di un triangolo
$ x<y+z $
moltiplico per $ x $
$ x^2<xy+xz $
$ y<x+z $
moltiplico per $ y $
$ y^2<xy+yz $
$ z<x+y $
moltiplico per $ z $
$ z^2<xz+yz $
sommandole tutte e tre
$ x^2+y^2+z^2<2(xy+yz+zx) $
Credo che l'uguaglianza non possa mai valere, salvo triangoli degeneri
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wow... ma si può fare quela roba lì di melkon? mi pare strano non averla mai incontrata.
bellissima anche la tua boll, accludo il classico 'ma come non mi è venuta in mente'... sei più veloce a risolvere disuguaglianze che a stimare logaritmi...
talpuz se n'è accorto per primo. bei ricordi vero? ora speriamo solo non passi di qui lordgauss sennò riparte con il suo "ma perchè questo qui (alias alex85) sì e io no? ma perchè??"
bellissima anche la tua boll, accludo il classico 'ma come non mi è venuta in mente'... sei più veloce a risolvere disuguaglianze che a stimare logaritmi...
talpuz se n'è accorto per primo. bei ricordi vero? ora speriamo solo non passi di qui lordgauss sennò riparte con il suo "ma perchè questo qui (alias alex85) sì e io no? ma perchè??"
ghghg, magari se non fosse mancata un ipotesi :D:Pjabberwocky ha scritto: sei più veloce a risolvere disuguaglianze che a stimare logaritmi...
Cmq è condizione necessaria e sufficente affichè $ x,y,z $ siano lati di un triangolo che esistano reali positivi $ a,b,c $ tali che
$ x=a+b $
$ y=b+c $
$ z=c+a $
Dimostratelo!!