Disuguaglianze

[Simo_the_wolf]

Ecco tante belle disuguaglianze:

- $ \displaystyle (a+b)(a+c) \geq 2 \sqrt{abc(a+b+c)} $ con $ a,b,c \geq 0 $

- $ \displaystyle 2+\frac 1{2(a^2+a)} > (2a+1) \left( \sqrt {\frac {a+1}a}- \sqrt {\frac a{a+1}} \right) > 2 $ con $ a>0 $

- $ \displaystyle \frac a{b+c+1}+\frac b{a+c+1}+\frac c{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1 $ con $ 0 \leq a,b,c \leq 1 $

[Boll]

Ecco tante belle disuguaglianze:
- $ \displaystyle (a+b)(a+c) \geq 2 \sqrt{abc(a+b+c)} $ con $ a,b,c \geq 0 $

Osservo che se mando
$ a\rightarrow ka $
$ b\rightarrow kb $
$ c\rightarrow kc $
la disuguaglianza rimane invariata, quindi normalizzo ponendo
$ a+b+c=1 $
avremo
$ \displaystyle \frac{a+bc}{2}\ge \sqrt{abc} $ --> AM-GM
$ a(a+b+c)+bc\ge 2\sqrt{abc(a+b+c)} $
$ (a+b)(a+c)\ge 2\sqrt{abc(a+b+c)} $
q.e.d.

[Spider]

Oppure, come facevano in un vecchio numero del giornalino (dove questa disuguaglianza è comparsa), basta applicare AM-GM tra $ a(a+b+c) $ e $ bc $.

Salvatore

[Boll]

Beh, è più o meno la stessa cosa...

[MindFlyer]

Ecco, vi prego, mettiamo problemi diversi in thread diversi, altrimenti è un macello.
Grazie!

[karl]

II diseg.
$ Detti\,\,P\,\,ed\,\,S\,\,il\,\,1^\circ \,\,il\,\,2^\circ \,\,membro\,\,della\,\,diseguaglianza,si\,\,ha: \\ S = \frac{{(2a + 1)}}{{\sqrt {a(a + 1)} }} = \frac{{(a + 1) + a}}{{\sqrt {a(a + 1)} }} > \frac{{2\sqrt {a(a + 1)} }}{{\sqrt {a(a + 1)} }} = 2 \\ P = \frac{{(2a + 1)^2 }}{{2a(a + 1)}} = \frac{{(2a + 1)}}{{a(a + 1)}}.\frac{{(a + 1) + a}}{2} > \frac{{(2a + 1)}}{{a(a + 1)}}.\sqrt {a(a + 1)} = \\ = \frac{{(2a + 1)}}{{\sqrt {a(a + 1)} }} = S \\ Concludendo:P > S > 2 \\ $

[Marco]

Ciao. Le domande/risposte inerenti ad AM-GM solo state spostate nel Glossario. M.