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Strano teorema sui polinomi omogenei di 3° grado

Inviato: 07 apr 2005, 21:08
da __Cu_Jo__
Sia un polinomio $ P\left( {u,v,\omega } \right) $ omogeneo e simmetrico di 3° grado.Dimostrare che

$ \forall x,y,z \ge 0:P\left( {1,1,1} \right),P\left( {1,1,0} \right),P\left( {1,0,0} \right) \ge 0 \Leftrightarrow P\left( {x,y,z} \right) \ge 0 $.

Ho cercato tutti i modi per dimostralo ma finora non sono arrivato a niente.Il problema è abbastanza difficile..
Buona fortuna!

Inviato: 07 apr 2005, 22:29
da Catraga
Un'implicazione è ovvia (il ritorno).
Per la secona essenzialmente si tratta di determinare il coefficiente relativo ai monomi del tipo:
$ x_i^3, x_i^2x_j, x_ix_jx_k $
Ci sono da determinare tre coefficienti, che risultano essere maggiori di zero per le condizioni imposte dalle ipotesi. Quindi essenzialmente abbiamo un polinomio simmetrico di terzo grado omogeneo con coefficienti positivi.
Adesso rimane da dimostrare che il polinomio in 0 raggiunge il minimo.

Inviato: 08 apr 2005, 07:16
da __Cu_Jo__
E chi dice che il polinomio abbia cefficenti positivi?Ad esempio il polinomio
$ P\left( {a,b,c} \right) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc $ è omogeneo e simmetrico ma il coefficente di abc è -3

Inviato: 08 apr 2005, 10:17
da Catraga
La ciofeca e' mia.
Hai ragione.

Inviato: 15 apr 2005, 20:26
da __Cu_Jo__
Vabbè,dò un piccolo input.
$ \displaystyle P\left( {x,y,z} \right) = A\sum\limits_{cycl} {x^3 + B\sum\limits_{sym} {x^2 y} + Cxyz} $
è un generico polinomio simmetrico e omogeneo di 3° grado .
Porre
$ \displaystyle p = P\left( {1,1,1} \right) $

$ \displaystyle q = \frac{{P\left( {1,1,0} \right)}}{2} $

$ \displaystyle r = P\left( {1,0,0} \right) $

Inviato: 11 mag 2005, 19:34
da __Cu_Jo__
Lo sapevo ke sarebbe finita così :evil:!Cmq,x ki fosse interessato,questa è la soluzione(+ facile nn ne ho trovata...)

Un generico polinomio simmetrico ed omogeneo di 3° grado può essere scritto nella forma:
$ \displaymatch P(x,y,z) = A\sum\limits_{cycl} {x^3 } + B\sum\limits_{sym} {x^2 y + Cxyz} $
dove $ A,B,C \in \Re $.

Siccome
$ \displaymatch \begin{array}{l} p = P\left( {1,1,1} \right) = 3A + 6B + C \\ q = \frac{{P\left( {1,1,0} \right)}}{2} = A + B \\ r = P\left( {1,0,0} \right) = A \\ \end{array} $
con $ p,q,r \ge 0 $

il polinomio diventa:
$ \displaymatch P\left( {x,y,z} \right) = r\sum\limits_{cycl} {x^3 + \left( {q - r} \right)} \sum\limits_{sym} {x^2 y} + \left( {p + 3r - 6q} \right)xyz $

Per $ q \ge r $
Immagine
che è positivo per Muirhead.

Per $ q \le r $

Immagine
che è positivo per Muirhead e Schur.

Inviato: 11 mag 2005, 22:31
da fph
__Cu_Jo__ ha scritto: che è positivo per Muirhead.
Muirhead? Non la conosco (o non la conosco con questo nome). Puoi enunciare, per favore?

Inviato: 14 mag 2005, 12:46
da __Cu_Jo__
Probabilmente tu lo chiami bunching