dati $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ reali positivi, dimostrare che
$ \displaystyle{\frac{a}{b+2c+d} + \frac{b}{c+2d+a} + \frac{c}{d+2a+b} + \frac{d}{a+2b+c} \ge 1} $
disuguaglianza (2)
Per Cauchy Schwartz
$ \displaystyle \left( {\sum\limits_{cycl} {\frac{a}{{b + 2c + d}}} } \right) - 1 \ge \frac{{\left( {\sum\limits_{cycl} a } \right)^2 }}{{\left( {\sum\limits_{cycl} {a\left( {b + 2c + d} \right)} } \right)}} - 1 = $
$ \displaystyle = \frac{{\left( {a - c} \right)^2 + \left( {b - d} \right)^2 }}{{\sum\limits_{sym} {ab} + 2\left( {ac + bd} \right)}} \ge 0 $
$ \displaystyle \left( {\sum\limits_{cycl} {\frac{a}{{b + 2c + d}}} } \right) - 1 \ge \frac{{\left( {\sum\limits_{cycl} a } \right)^2 }}{{\left( {\sum\limits_{cycl} {a\left( {b + 2c + d} \right)} } \right)}} - 1 = $
$ \displaystyle = \frac{{\left( {a - c} \right)^2 + \left( {b - d} \right)^2 }}{{\sum\limits_{sym} {ab} + 2\left( {ac + bd} \right)}} \ge 0 $
Wlog, ammettiamo $ a+b+c+d=1 $. Poiché $ \displaystyle\frac{x}{1+y-x} + \frac{y}{1+x-y} \ge x+y $, se $ x,y\in\mathbb{R} $ e $ 0 < x, y < 1 $, con uguaglianza soddisfatta sse $ x=y $, viene che LHS = $ \displaystyle\frac{a}{1 + c - a} + \frac{b}{1 + d - b} + \frac{c}{1 + a - c} + \frac{d}{1 + b - d} $ $ \ge (a + c) + (b + d) = 1 $, dove l'uguaglianza è soddisfatta sse $ a = c $ e $ b = d $.
Non tanto perchè è omogeneo, ma perchè è omogeneo di grado zero :
una funzione $ f(x_1,\ldots,x_n) $ di n variabili reali a valori reali si dice omogenea di grado $ d $ se, per ogni $ k\in\mathbb{R} $ vale
$ f(kx_1,\ldots,kx_n)=k^df(x_1,\ldots,x_n) $
Una funzione omogenea di grado 0 è praticamente una che non cambia se si moltiplicano tutte le variabili per una stessa costante; quindi possiamo imporre tranquillamente che la somma sia 1 : per una 4-upla generica (x,y,z,w) basterà dividere tutti i termini per (x+y+z+w) e otterremo così (senza cambiare LHS, in quanto è di grado 0) una 4-upla a somma 1.
NB : La ciclicità permette solo di fissare un massimo tra le quattro variabili; la simmetria di ordinarle.
una funzione $ f(x_1,\ldots,x_n) $ di n variabili reali a valori reali si dice omogenea di grado $ d $ se, per ogni $ k\in\mathbb{R} $ vale
$ f(kx_1,\ldots,kx_n)=k^df(x_1,\ldots,x_n) $
Una funzione omogenea di grado 0 è praticamente una che non cambia se si moltiplicano tutte le variabili per una stessa costante; quindi possiamo imporre tranquillamente che la somma sia 1 : per una 4-upla generica (x,y,z,w) basterà dividere tutti i termini per (x+y+z+w) e otterremo così (senza cambiare LHS, in quanto è di grado 0) una 4-upla a somma 1.
NB : La ciclicità permette solo di fissare un massimo tra le quattro variabili; la simmetria di ordinarle.
Scusami ma la Ciclicità non permette di fissare il massimo o il minimo o il medio o...EvaristeG ha scritto:
NB : La ciclicità permette solo di fissare un massimo tra le quattro variabili; la simmetria di ordinarle.
Si con la simmetria posso dire $ a \geq b \geq c \geq ... $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza