dati $ a $, $ b $, $ c $ reali positivi, dimostrare che
$ \displaystyle{\frac{a^3 + 3abc}{b+c} + \frac{b^3 + 3abc}{c+a} + \frac{c^3 + 3abc}{a+b} \ge 2(ab+bc+ca)} $
disuguaglianza
:D:D
Dimostrazione (spero) di Nesbitt generalizzato.
$ Supponendo\,\,a \ge b \ge c\,\,risulta: \\ \frac{a}{{b + c}} \ge \frac{b}{{c + a}} \ge \frac{c}{{a + b}} \\ A\,\,meno\,\,di\,un\,\,cambio\,\,\,di\,\,denominazione\,si\,\,puo'\,supporre: \\ x \ge y \ge z \\ Per\,\,Tchebycheff\,\,si\,\,ha\,\,allora: \\ 3\left( {x.\frac{a}{{b + c}} + y.\frac{b}{{c + a}} + z.\frac{c}{{a + b}}} \right) \ge (x + y + z)\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right) \\ da\,\,cui\,(per\,\,Nesbitt): \\ $
$ x.\frac{a}{b + c} + y.\frac{b}{c + a} + z.\frac{c}{a + b} \ge \frac{x + y + z}{2} $
Dimostrazione della diseguaglianza proposta.
$ Detto\,\,P\,\,il\,\,1^\circ \,\,membro\,\,si\;\,ha: \\ P = \frac{{(a^2 )^2 }}{{a(b + c)}} + \frac{{(b^2 )^2 }}{{b(c + a)}} + \frac{{(c^2 )^2 }}{{c(a + b)}} + \frac{{a(3bc)}}{{(b + c)}} + \frac{{b(3ca)}}{{(c + a)}} + \frac{{c(3ab)}}{{(a + b)}} \\ \ge \frac{{(a^2 + b^2 + c^2 )^2 }}{{2(ab + bc + ca)}} + \frac{{3(bc + ca + ab)}}{2} \\ Ora\,\,a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\,\,e\,\,quindi: \\ P \ge \frac{{ab + bc + ca\,}}{2} + \frac{{3(bc + ca + ab)}}{2} = 2(bc + ca + ab). \\ $
$ Supponendo\,\,a \ge b \ge c\,\,risulta: \\ \frac{a}{{b + c}} \ge \frac{b}{{c + a}} \ge \frac{c}{{a + b}} \\ A\,\,meno\,\,di\,un\,\,cambio\,\,\,di\,\,denominazione\,si\,\,puo'\,supporre: \\ x \ge y \ge z \\ Per\,\,Tchebycheff\,\,si\,\,ha\,\,allora: \\ 3\left( {x.\frac{a}{{b + c}} + y.\frac{b}{{c + a}} + z.\frac{c}{{a + b}}} \right) \ge (x + y + z)\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right) \\ da\,\,cui\,(per\,\,Nesbitt): \\ $
$ x.\frac{a}{b + c} + y.\frac{b}{c + a} + z.\frac{c}{a + b} \ge \frac{x + y + z}{2} $
Dimostrazione della diseguaglianza proposta.
$ Detto\,\,P\,\,il\,\,1^\circ \,\,membro\,\,si\;\,ha: \\ P = \frac{{(a^2 )^2 }}{{a(b + c)}} + \frac{{(b^2 )^2 }}{{b(c + a)}} + \frac{{(c^2 )^2 }}{{c(a + b)}} + \frac{{a(3bc)}}{{(b + c)}} + \frac{{b(3ca)}}{{(c + a)}} + \frac{{c(3ab)}}{{(a + b)}} \\ \ge \frac{{(a^2 + b^2 + c^2 )^2 }}{{2(ab + bc + ca)}} + \frac{{3(bc + ca + ab)}}{2} \\ Ora\,\,a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\,\,e\,\,quindi: \\ P \ge \frac{{ab + bc + ca\,}}{2} + \frac{{3(bc + ca + ab)}}{2} = 2(bc + ca + ab). \\ $
Ultima modifica di karl il 12 apr 2005, 22:39, modificato 1 volta in totale.
uhm...
interessante!
la mia dimostrazione:
riscriviamo come: $ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{a^3+3abc}{b+c} - ab - ca} \ge 0 $.
ora, $ \displaystyle \frac{a^3+3abc}{b+c} - ab - ca = \frac{a(a-b)(a-c)}{b+c} $.
moltiplichiamo tutto per $ (b+c)(c+a)(a+b) $ per ottenere:
$ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{a^3+3abc}{b+c} - ab - ca} \ge 0 $ se e solo se $ \sum_{cyc}{a^3(a-b)(a-c)} + (ab+bc+ca) \sum_{cyc}{a(a-b)(a-c)} \ge 0 $.
ma l'ultima è vera per schur (ovvero, applicando schur con $ r = 1 $ per la seconda somma, ed $ r = 3 $ per la prima).
interessante!
la mia dimostrazione:
riscriviamo come: $ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{a^3+3abc}{b+c} - ab - ca} \ge 0 $.
ora, $ \displaystyle \frac{a^3+3abc}{b+c} - ab - ca = \frac{a(a-b)(a-c)}{b+c} $.
moltiplichiamo tutto per $ (b+c)(c+a)(a+b) $ per ottenere:
$ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{a^3+3abc}{b+c} - ab - ca} \ge 0 $ se e solo se $ \sum_{cyc}{a^3(a-b)(a-c)} + (ab+bc+ca) \sum_{cyc}{a(a-b)(a-c)} \ge 0 $.
ma l'ultima è vera per schur (ovvero, applicando schur con $ r = 1 $ per la seconda somma, ed $ r = 3 $ per la prima).
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Simo_the_wolf
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Un momento! La disuguaglianza di Nesbit "supergeneralizzata" non funziona...Se le terne $ (a,b,c) $ e $ (x,y,z) $ sono ordinate allo stesso modo ok, ma altrimenti non mi pare valga... Si può provare $ (a,b,c)=(1,2,3) $ e $ (x,y,z)=(3,2,1) $ e risulterà $ 2,6 \geq 3 $. Mmmmh! Qualcosa non va...
Nel nostro caso deve essere $ a+b \geq 3c $, $ b+c \geq 3a $, se posto che $ a \geq b \geq c $
Nel nostro caso deve essere $ a+b \geq 3c $, $ b+c \geq 3a $, se posto che $ a \geq b \geq c $
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Simo_the_wolf
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Ho trasformato ,come desiderava Mind ,le gif in LaTeX ( anche se alla fine
non e' servito a nulla visto la brutta fine che ha fatto Nesbitt generalizzato).
Puo' essere interessante sapere,ma saranno in pochi a non
conoscere il trucco,che e' possibile scrivere un testo scientifico con un
"editor" matematico (l'onnipresente MathType ad esempio) e poi salvarlo,
con qualche piccola modifica e un po' di "copy&paste", in LaTeX.
Ci si risparmia un bel pezzo di tormentoso (almeno per me ) lavoro in
LaTeX con quel mare di parentesi graffe , di "slash" e "backslash".
non e' servito a nulla visto la brutta fine che ha fatto Nesbitt generalizzato).
Puo' essere interessante sapere,ma saranno in pochi a non
conoscere il trucco,che e' possibile scrivere un testo scientifico con un
"editor" matematico (l'onnipresente MathType ad esempio) e poi salvarlo,
con qualche piccola modifica e un po' di "copy&paste", in LaTeX.
Ci si risparmia un bel pezzo di tormentoso (almeno per me ) lavoro in
LaTeX con quel mare di parentesi graffe , di "slash" e "backslash".
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