Post un pochino demenziale sulla disuguaglianza di Nesbitt

[Boll]

Vediamo chi trova più modi possibili per dimostrare la disuguaglianza di Nesbitt, io per ora sono a 5... Scrivete le vostre soluzioni in pseudo-bianco così gli altri non sono invogliati a barare...
Ricordiamo che la disug di Nesbitt è:
$ \forall a,b,c \in R^{+} $
$ \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2} $

[Mu_di_eni]

Giusto per provare il Latex, ecco il caso più scontato

se a=b=c allora

$ \begin{displaymath} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}=\frac{a}{a+a}+\frac{a}{a+a}+\frac{a}{a+a}=\frac{a}{2a}+\frac{a}{2a}+\frac{a}{2a}=\frac{3a}{2a}=\frac{3}{2} \end{displaymath} $

Per gli altri magari ci penso un po' su ma non credo di trovare niente

[Pixel]

Scusa ma cosa avresti dimostrato?

[Boll]

Ehm, provare la disuguaglianza, non che se coincidono vale l'uguaglianza

[HiTLeuLeR]

Click!!! E siamo già a quota 4...

[Boll]

Sì, ricordavo quel topic, solo due coincidono con le mie, comunque, quindi ci sono almeno 7 soluzioni... Più un altro metodo che mi disse th_matrix fanno 8... A voi il piacere di scovarli tutti

[Mu_di_eni]

Ehm, provare la disuguaglianza, non che se coincidono vale l'uguaglianza

Nel caso particolare a=b=c vale la diseguaglianza perchè il segno della disequazione è >=, tutto qui...

[__Cu_Jo__]

Posto tutti i passaggi per chiarezza.
Poniamo a+b+c=s
$ \sum\limits_{cycl} {\frac{a}{{b + c}}} = \sum\limits_{cycl} {\frac{a}{{s - a}}} = \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}} - 1} \right)} = \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 $
Per Cauchy-Schwarz
$ \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 \ge \frac{9}{{\sum\limits_{cycl} {\frac{{s - a}}{s}} }} - 3 = \frac{9}{{3 - \frac{1}{s}\sum\limits_{cycl} a }} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} $

[Boll]

Ok, Cu_jo, quando scrivi in $ \LaTeX $ cose "fratte" come le disuguaglianze, per favore, metti al'inizio del codice

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle

. Diventa tutto più leggibile, guarda:

Posto tutti i passaggi per chiarezza.
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 \ge \frac{9}{{\sum\limits_{cycl} {\frac{{s - a}}{s}} }} - 3 = \frac{9}{{3 - \frac{1}{s}\sum\limits_{cycl} a }} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} $

La soluzione comunque mi pare impeccabile e molto simile a quella di talpuz nel post di Euler, salvo la riscrittura del tutto, che in questa disuguaglianza è una bunissimissima idea

[Simo_the_wolf]

Possiamo tranquillamente suppore che x=a+b , y=b+c e z=a+c .La nostra disuguaglianza diventa:
$ \displaystyle \frac {x+z-y}{2y}+\frac {x+y-z}{2z}+\frac {y+z-x}{2x} \geq \frac 32 $
e, moltiplicando per 2 otteniamo
$ \displaystyle \frac {x+z}{y}+\frac {x+y}{z}+\frac {y+z}{x} -3\geq 3 $
$ \displaystyle \frac xy +\frac yx+\frac zy +\frac yz+\frac xz +\frac zx \geq 6 $
che è vera per riarrangiamento ma anche per AM-GM ( $ \frac xy + \frac yx \geq 2 \sqrt{ \frac {xy}{yx}}=2 $)

[Boll]

Ok, Simo ha trovato 2 modi... Un modo con almeno due sottomodi... Tra l'altro mi stupisce che abbia usato AM-GM per la disuguaglianza finale... visto che pochi minuti dopo... in un altro topic...

[__Cu_Jo__]

Ok, Cu_jo, quando scrivi in $ \LaTeX $ cose "fratte" come le disuguaglianze, per favore, metti al'inizio del codice

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle

. Diventa tutto più leggibile, guarda:

Posto tutti i passaggi per chiarezza.
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 \ge \frac{9}{{\sum\limits_{cycl} {\frac{{s - a}}{s}} }} - 3 = \frac{9}{{3 - \frac{1}{s}\sum\limits_{cycl} a }} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} $

Non lo sapevo!Grazie per avermelo detto