Post un pochino demenziale sulla disuguaglianza di Nesbitt

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Boll
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Post un pochino demenziale sulla disuguaglianza di Nesbitt

Messaggio da Boll » 24 mar 2005, 15:04

Vediamo chi trova più modi possibili per dimostrare la disuguaglianza di Nesbitt, io per ora sono a 5... Scrivete le vostre soluzioni in pseudo-bianco così gli altri non sono invogliati a barare...
Ricordiamo che la disug di Nesbitt è:
$ \forall a,b,c \in R^{+} $
$ \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2} $

Mu_di_eni
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Messaggio da Mu_di_eni » 25 mar 2005, 00:02

Giusto per provare il Latex, ecco il caso più scontato :D

se a=b=c allora

$ \begin{displaymath} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}=\frac{a}{a+a}+\frac{a}{a+a}+\frac{a}{a+a}=\frac{a}{2a}+\frac{a}{2a}+\frac{a}{2a}=\frac{3a}{2a}=\frac{3}{2} \end{displaymath} $

Per gli altri magari ci penso un po' su ma non credo di trovare niente :P
Ah, la tauromachia!

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Pixel
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Messaggio da Pixel » 25 mar 2005, 01:22

Scusa ma cosa avresti dimostrato? :shock:
P. Andrea

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Boll
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Messaggio da Boll » 25 mar 2005, 09:11

Ehm, provare la disuguaglianza, non che se coincidono vale l'uguaglianza

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HiTLeuLeR
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già vista altrove...

Messaggio da HiTLeuLeR » 25 mar 2005, 09:52

Click!!! E siamo già a quota 4... :mrgreen:

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Boll
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Messaggio da Boll » 25 mar 2005, 10:50

Sì, ricordavo quel topic, solo due coincidono con le mie, comunque, quindi ci sono almeno 7 soluzioni... Più un altro metodo che mi disse th_matrix fanno 8... A voi il piacere di scovarli tutti

Mu_di_eni
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Messaggio da Mu_di_eni » 25 mar 2005, 12:50

Boll ha scritto:Ehm, provare la disuguaglianza, non che se coincidono vale l'uguaglianza
Nel caso particolare a=b=c vale la diseguaglianza perchè il segno della disequazione è >=, tutto qui...
Ah, la tauromachia!

__Cu_Jo__
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Messaggio da __Cu_Jo__ » 25 mar 2005, 22:36

Posto tutti i passaggi per chiarezza.
Poniamo a+b+c=s
$ \sum\limits_{cycl} {\frac{a}{{b + c}}} = \sum\limits_{cycl} {\frac{a}{{s - a}}} = \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}} - 1} \right)} = \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 $
Per Cauchy-Schwarz
$ \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 \ge \frac{9}{{\sum\limits_{cycl} {\frac{{s - a}}{s}} }} - 3 = \frac{9}{{3 - \frac{1}{s}\sum\limits_{cycl} a }} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} $

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Boll
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Messaggio da Boll » 26 mar 2005, 09:09

Ok, Cu_jo, quando scrivi in $ \LaTeX $ cose "fratte" come le disuguaglianze, per favore, metti al'inizio del codice

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle
. Diventa tutto più leggibile, guarda:
__Cu_Jo__ ha scritto:Posto tutti i passaggi per chiarezza.
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 \ge \frac{9}{{\sum\limits_{cycl} {\frac{{s - a}}{s}} }} - 3 = \frac{9}{{3 - \frac{1}{s}\sum\limits_{cycl} a }} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} $
La soluzione comunque mi pare impeccabile e molto simile a quella di talpuz nel post di Euler, salvo la riscrittura del tutto, che in questa disuguaglianza è una bunissimissima idea

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 29 mar 2005, 17:40

Possiamo tranquillamente suppore che x=a+b , y=b+c e z=a+c .La nostra disuguaglianza diventa:
$ \displaystyle \frac {x+z-y}{2y}+\frac {x+y-z}{2z}+\frac {y+z-x}{2x} \geq \frac 32 $
e, moltiplicando per 2 otteniamo
$ \displaystyle \frac {x+z}{y}+\frac {x+y}{z}+\frac {y+z}{x} -3\geq 3 $
$ \displaystyle \frac xy +\frac yx+\frac zy +\frac yz+\frac xz +\frac zx \geq 6 $
che è vera per riarrangiamento ma anche per AM-GM ( $ \frac xy + \frac yx \geq 2 \sqrt{ \frac {xy}{yx}}=2 $)
Ultima modifica di Simo_the_wolf il 30 mar 2005, 22:43, modificato 1 volta in totale.

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Boll
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Messaggio da Boll » 29 mar 2005, 19:57

Ok, Simo ha trovato 2 modi... Un modo con almeno due sottomodi... Tra l'altro mi stupisce che abbia usato AM-GM per la disuguaglianza finale... visto che pochi minuti dopo... in un altro topic...

__Cu_Jo__
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Messaggio da __Cu_Jo__ » 08 apr 2005, 13:10

Boll ha scritto:Ok, Cu_jo, quando scrivi in $ \LaTeX $ cose "fratte" come le disuguaglianze, per favore, metti al'inizio del codice

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle
. Diventa tutto più leggibile, guarda:
__Cu_Jo__ ha scritto:Posto tutti i passaggi per chiarezza.
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - a}}} \right)} - 3 \ge \frac{9}{{\sum\limits_{cycl} {\frac{{s - a}}{s}} }} - 3 = \frac{9}{{3 - \frac{1}{s}\sum\limits_{cycl} a }} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} $
Non lo sapevo!Grazie per avermelo detto

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