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disuguaglianza
Inviato: 12 mar 2005, 21:34
da alberto
provare che la distanza
$ \displaystyle d'(a,b)=\frac{d(a,b)}{1+d(a,b)} $
verifica la disuguaglianza triangolare, cioè:
se $ a,b,c \geq 0 $
se $ a+b \geq c $
allora:
$ \displaystyle \frac a{1+a} + \frac b{1+b} \geq \frac c{1+c} $
Inviato: 16 mar 2005, 09:51
da MindFlyer
Ciau Andrea, ben tornato da queste parti!!!
Come avrai notato, il nuovo forum ha il supporto LaTeX, e vorrei incoraggiarti ad usarlo.
Ho editato il tuo messaggio riscrivendo le formule in LaTeX. Lascio a te giudicare i risultati!!
Inviato: 16 mar 2005, 19:49
da __Cu_Jo__
La funzione $ f(x) = \frac{x}{{x + 1}} $ è monotona crescente per ogni $ x \in \Re _0^ + $.
Infatti $
\forall x,y \in \Re _0^ + :\frac{x}{{x + 1}} \ge \frac{y}{{y + 1}} \Rightarrow x\left( {y + 1} \right) \ge y\left( {x + 1} \right) \Rightarrow x \ge y
$
Ciò significa che presi 3 numeri reali positivi $ a\,,b\,,c $
$
a + b > c \Rightarrow f(a + b) > f(c)
$
Inoltre $
f(a + b) = \frac{{a + b}}{{a + b + 1}} = \frac{a}{{a + b + 1}} + \frac{b}{{b + a + 1}} < f(a) + f(b)
$ da cui $
f(a) + f(b) > f(c)
$
Inviato: 16 mar 2005, 23:15
da talpuz
__Cu_Jo__ ha scritto:La funzione $ f(x) = \frac{x}{{x + 1}} $ è monotona crescente per ogni $ x \in \Re _0^ + $.
Infatti $
\forall x \in \Re _0^ + :f(x) - f(x + 1) = \frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = - \frac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} < 0
$
hmm... che la funzione sia crescente per x>=0 è vero, ma non è quello il modo di dimostrarlo (ricordati che stai lavorando sui reali, non sugli interi... passare al "successivo" non ha molto senso)
e poi ti faccio notare che alcune delle disuguaglianze che hai scritto non sono strette, ad esempio questa
__Cu_Jo__ ha scritto:
$
f(a + b) = \frac{{a + b}}{{a + b + 1}} = \frac{a}{{a + b + 1}} + \frac{b}{{b + a + 1}} < f(a) + f(b)
$
(prendi ad esempio b=0)
Inviato: 17 mar 2005, 13:55
da __Cu_Jo__
Si..ora dovrebbe andare bene.
Comunque non sono d'accordo su fatto che l'eguaglianza valga in senso largo.Stiamo parlando pur sempre di lati di un triangolo,la cui misura è sempre positiva(mai nulla)...
Inviato: 17 mar 2005, 14:25
da HiTLeuLeR
Che si tratti dei lati d'un triangolo t'è stato suggerito dallo Spirito Santo o te lo sei 'nventato per sottolineare il tuo incontrovertibile diritto all'esercizio del libero arbitrio?
Re: disuguaglianza
Inviato: 17 mar 2005, 14:35
da __Cu_Jo__
alberto ha scritto:
verifica la disuguaglianza triangolare
La diseguaglianza triangolare è $
a + b > c
$
Inviato: 17 mar 2005, 14:43
da talpuz
no, non va ancora bene
le tue frecce vanno da f(x)>=f(y) a x>=y, mentre invece dovresti dimostrare l'implicazione inversa...
(in effetti basta dire che le frecce si possono invertire, però VA DETTO)
riguardo al fatto che la disuguaglianza sia stretta, alberto ha scritto a+b>=c nel testo del problema, non a+b>c, e oltretutto a,b,c sono soltanto non-negativi, e per b=0 ad esempio vale l'uguaglianza... quindi la disuguaglianza NON è stretta
...
Inviato: 17 mar 2005, 14:44
da HiTLeuLeR
Inviato: 17 mar 2005, 14:45
da __Cu_Jo__
talpuz ha scritto:no, non va ancora bene
le tue frecce vanno da f(x)>=f(y) a x>=y, mentre invece dovresti dimostrare l'implicazione inversa...
(in effetti basta dire che le frecce si possono invertire, però VA DETTO)
Ma quanto siete pignoli
!!...
Inviato: 17 mar 2005, 14:48
da __Cu_Jo__
Ma la diseguaglianza triangolare è a+b>c
Inviato: 17 mar 2005, 14:53
da talpuz
questo perchè continui a pensarla geometricamente!! e comunque il propositore del problema ha scritto esplicitamente quello che intendeva, e non ha messo disuguaglianza strette
poi ti ripeto, b=0 è un valore ammissibile secondo il testo, e per b=0 vale l'uguaglianza, sarai d'accordo spero
Inviato: 17 mar 2005, 14:59
da __Cu_Jo__
talpuz ha scritto:questo perchè continui a pensarla geometricamente!! e comunque il propositore del problema ha scritto esplicitamente quello che intendeva, e non ha messo disuguaglianza strette
poi ti ripeto, b=0 è un valore ammissibile secondo il testo, e per b=0 vale l'uguaglianza, sarai d'accordo spero
E chi ti dice che Alberto non abbia sbagliato a formulare il problema
?