disuguaglianza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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alberto
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disuguaglianza

Messaggio da alberto » 12 mar 2005, 21:34

provare che la distanza

$ \displaystyle d'(a,b)=\frac{d(a,b)}{1+d(a,b)} $

verifica la disuguaglianza triangolare, cioè:
se $ a,b,c \geq 0 $
se $ a+b \geq c $
allora:
$ \displaystyle \frac a{1+a} + \frac b{1+b} \geq \frac c{1+c} $

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 16 mar 2005, 09:51

Ciau Andrea, ben tornato da queste parti!!! :D
Come avrai notato, il nuovo forum ha il supporto LaTeX, e vorrei incoraggiarti ad usarlo.
Ho editato il tuo messaggio riscrivendo le formule in LaTeX. Lascio a te giudicare i risultati!!

__Cu_Jo__
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Messaggio da __Cu_Jo__ » 16 mar 2005, 19:49

La funzione $ f(x) = \frac{x}{{x + 1}} $ è monotona crescente per ogni $ x \in \Re _0^ + $.
Infatti $ \forall x,y \in \Re _0^ + :\frac{x}{{x + 1}} \ge \frac{y}{{y + 1}} \Rightarrow x\left( {y + 1} \right) \ge y\left( {x + 1} \right) \Rightarrow x \ge y $

Ciò significa che presi 3 numeri reali positivi $ a\,,b\,,c $
$ a + b > c \Rightarrow f(a + b) > f(c) $

Inoltre $ f(a + b) = \frac{{a + b}}{{a + b + 1}} = \frac{a}{{a + b + 1}} + \frac{b}{{b + a + 1}} < f(a) + f(b) $ da cui $ f(a) + f(b) > f(c) $
Ultima modifica di __Cu_Jo__ il 17 mar 2005, 13:52, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da talpuz » 16 mar 2005, 23:15

__Cu_Jo__ ha scritto:La funzione $ f(x) = \frac{x}{{x + 1}} $ è monotona crescente per ogni $ x \in \Re _0^ + $.
Infatti $ \forall x \in \Re _0^ + :f(x) - f(x + 1) = \frac{x}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = - \frac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} < 0 $

hmm... che la funzione sia crescente per x>=0 è vero, ma non è quello il modo di dimostrarlo (ricordati che stai lavorando sui reali, non sugli interi... passare al "successivo" non ha molto senso)

e poi ti faccio notare che alcune delle disuguaglianze che hai scritto non sono strette, ad esempio questa

__Cu_Jo__ ha scritto: $ f(a + b) = \frac{{a + b}}{{a + b + 1}} = \frac{a}{{a + b + 1}} + \frac{b}{{b + a + 1}} < f(a) + f(b) $
(prendi ad esempio b=0)

__Cu_Jo__
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Messaggio da __Cu_Jo__ » 17 mar 2005, 13:55

Si..ora dovrebbe andare bene.
Comunque non sono d'accordo su fatto che l'eguaglianza valga in senso largo.Stiamo parlando pur sempre di lati di un triangolo,la cui misura è sempre positiva(mai nulla)...

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Messaggio da HiTLeuLeR » 17 mar 2005, 14:25

Che si tratti dei lati d'un triangolo t'è stato suggerito dallo Spirito Santo o te lo sei 'nventato per sottolineare il tuo incontrovertibile diritto all'esercizio del libero arbitrio? :|

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Re: disuguaglianza

Messaggio da __Cu_Jo__ » 17 mar 2005, 14:35

alberto ha scritto: verifica la disuguaglianza triangolare

La diseguaglianza triangolare è $ a + b > c $

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Messaggio da talpuz » 17 mar 2005, 14:43

no, non va ancora bene :D

le tue frecce vanno da f(x)>=f(y) a x>=y, mentre invece dovresti dimostrare l'implicazione inversa...

(in effetti basta dire che le frecce si possono invertire, però VA DETTO)

riguardo al fatto che la disuguaglianza sia stretta, alberto ha scritto a+b>=c nel testo del problema, non a+b>c, e oltretutto a,b,c sono soltanto non-negativi, e per b=0 ad esempio vale l'uguaglianza... quindi la disuguaglianza NON è stretta
Ultima modifica di talpuz il 17 mar 2005, 14:46, modificato 1 volta in totale.

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...

Messaggio da HiTLeuLeR » 17 mar 2005, 14:44

Ok, ci rinuncio! Mettiamola così: non sono mai stato bravo, in Geometria... :? :shock: :(

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Messaggio da __Cu_Jo__ » 17 mar 2005, 14:45

talpuz ha scritto:no, non va ancora bene :D

le tue frecce vanno da f(x)>=f(y) a x>=y, mentre invece dovresti dimostrare l'implicazione inversa...

(in effetti basta dire che le frecce si possono invertire, però VA DETTO)
Ma quanto siete pignoli :x !!...

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Messaggio da __Cu_Jo__ » 17 mar 2005, 14:48

Ma la diseguaglianza triangolare è a+b>c

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Messaggio da talpuz » 17 mar 2005, 14:53

questo perchè continui a pensarla geometricamente!! e comunque il propositore del problema ha scritto esplicitamente quello che intendeva, e non ha messo disuguaglianza strette

poi ti ripeto, b=0 è un valore ammissibile secondo il testo, e per b=0 vale l'uguaglianza, sarai d'accordo spero :evil:

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Messaggio da __Cu_Jo__ » 17 mar 2005, 14:59

talpuz ha scritto:questo perchè continui a pensarla geometricamente!! e comunque il propositore del problema ha scritto esplicitamente quello che intendeva, e non ha messo disuguaglianza strette

poi ti ripeto, b=0 è un valore ammissibile secondo il testo, e per b=0 vale l'uguaglianza, sarai d'accordo spero :evil:
E chi ti dice che Alberto non abbia sbagliato a formulare il problema :wink: ?

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