Massimo vincolato con parametro (niente di analitico)

[HiTLeuLeR]

Me la sono inventata e me la sono pure dimostrata! Temo sia un po' banale, però... Vabbe', sono le mie prime sperimentazioni nel settore, cosa posso farci? Uffa, s'è vero che puzza la muffa...

Problema #1: essendo $ t\in\mathbb{R}^+ $ ed $ n\in\mathbb{N}_0 $, determinare il massimo valore assunto dall'espressione $ \displaystyle{E(x_1, x_2, \ldots, x_n) := \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k + t}} $ , quando $ x_1, x_2, ..., x_n $ siano numeri reali positivi t.c.: $ \displaystyle{\prod_{k=1}^n x_k = 1} $.

EDIT: ci ho aggiunto la "$ n $" mancante e ho ritoccato il range del parametro $ t $.

[Boll]

Me la sono inventata e me la sono pure dimostrata! Temo sia un po' banale, però... Vabbe', sono le mie prime sperimentazioni nel settore, cosa posso farci? Uffa, s'è vero che puzza la muffa...

Problema #1: essendo $ t\in\mathbb{R}^+ $ ed $ n\in\mathbb{N}_0 $, determinare il massimo valore assunto dall'espressione $ \displaystyle{E(x_1, x_2, \ldots, x_n) := \sum_{k=1} \frac{1}{x_k + t}} $ , quando $ x_1, x_2, ..., x_n $ siano numeri reali positivi t.c.: $ \displaystyle{\prod_{k=1}^n x_k = 1} $.

Scusa Euler, poi penserò al problema "serio", ma l'occasione è troppo ghiotta :D

Conclusione Per $ n=1 $ il massimo è $ \frac{1}{1+t} $, per $ n>1 $ Il massimo è $ \frac{1}{\epsilon+t} $ dove $ \epsilon $ è piccolo a piacere.

Dimostrazione Per $ n=1 $ l'espressione è costante, per tutti gli altri $ n $ ci basterà scegliere $ x_1 $ piccolo a piacere, tanto nell'espressione da massimizzare gli altri non ci interessano :D:D

[HiTLeuLeR]

Scusa Euler, poi penserò al problema "serio", ma l'occasione è troppo ghiotta :D

Conclusione Per $ n=1 $ il massimo è $ \frac{1}{1+t} $, per $ n>1 $ Il massimo è $ \frac{1}{\epsilon+t} $ dove $ \epsilon $ è piccolo a piacere.

Boll, non so proprio come dirtelo, maaa... Penso che dovresti seriamente prendere in considerazione la possibilità di imbarcarti sul primo treno bianco per Lourdes che passi dalle parti della stazione di Piacenza, ecco!!! Le tue conclusioni non stanno né in cielo né in terra, e non c'è neppure di che discutere, visto che i tuoi argomenti mostrano la stessa aleatorietà delle previsioni sul futuro del divino ma_go Otelma...

[Boll]

Euler, ti sto prendendo in giro perchè non hai messo la $ n $ in alto nella sommatoria... So benissimo di aver scritto stronzate, non ho risolto il vero problema ma quello che si legge scritto così... Leggi (e scrivi) meglio la prossima volta

[HiTLeuLeR]

Asdf... E chi se n'era accorto?!? Ah, sì, vero... TU!!!

[Pixel]

L'ho fatto troppo velocemente e quindi ho inevitabilmente sbagliato

[Boll]

Magari sto dicendo grandissimissime stronzate, ma sei sicuro, Euler, che quell'espressione, poste le tue condizioni ammetta sempre massimo??? Prendiamo ad esempio $ n=2 $ e $ t=0 $, dobbiamo quindi massimizzare
$ \displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} $, con $ x_1x_2=1 $, quindi dobbiamo massimizzare $ \displaystyle x_1+\frac{1}{x_1} $.
La funzione $ \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x} $ ha derivata prima $ \displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2} $ e quindi è crescente fuori da $ [0,1] $, quindi posso renderla grande a piacere e ciò impone che non abbia massimo...

[HiTLeuLeR]

Ehm... Essì, stavolta tieni ragione tu, Boll. E' che dev'essere $ t > 0 $, ecco tutto. Un attimo, correggo...

[Simo_the_wolf]

A parte n=1, per il caso $ t \leq 1 $ pare che sia: $ \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac 1{x_k+t} \leq \frac {n-1}t $ e si dimostra facilmente per induzione. Per il resto la cosa si complica molto... a me viene qualcosa del tipo se $ t \leq n-1 $ allora $ \text{max}=\frac {n-1}t $ altrimenti $ \text{max}=\frac n{t+1} $ o qualcosa del genere...

[HiTLeuLeR]

Sì, confermo alcune impressioni di Simo e il fatto che il massimo (là dove esistente, ché in alcuni casi è piuttosto un upper bound) dipende dai valori assunti dal parametro.