Disuguaglianza facilina
Disuguaglianza facilina
Un classicissimo, lo posto propedeutico per le disuguaglianze
Presi tutti gli $ a_i>0 $ trovare il minimo di
$ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1} $
Presi tutti gli $ a_i>0 $ trovare il minimo di
$ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1} $
Re: Disuguaglianza facilina
Nessuna malinterpretanzione Pixel :D, il problema era rivolto a persone un pò meno esperte in disuguaglianzeBoll ha scritto:Un classicissimo, lo posto propedeutico per le disuguaglianze
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In effetti riordinamento è più semplice... infatti le n-uple
$ (a_1,a_2,\dotsc,a_n) $ e $ (\frac 1{a_1},\frac 1{a_2},\cdots,\frac 1{a_n}) $ sono ordinate in modo inverso da cui la tesi:
$ \displaystyle \frac {a_1}{a_2} + \frac {a_1}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_1} \geq \frac {a_1}{a_1} + \frac {a_2}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_n} =n $
Colgo l'occasione per dimostrare anche la disuguaglianza AM-GM. Solitamente per dimostrarla si usa un induzione non-standard e piuttosto complicata da esporre. Esiste un metodo rapidissimo che sfrutta la disuguaglianza posta da Boll. Prendiamo una n-upla di reali positivi $ \{ x_i \} $. Ora poniamo
$ GM=\sqrt [n]{x_1x_2x_3 \dotsb x_n} $
$ a_1=\frac {GM}{x_1} $
$ a_2=\frac {GM^2}{x_1x_2} $
$ a_i=\frac {GM^i}{x_1x_2 \dotsb x_i} $
$ a_n=\frac {GM^n}{x_1x_2 \dotsb x_n}=1 $
Risulterà:
$ \displaystyle \frac {a_1}{a_2} + \frac {a_1}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_1} =\frac {x_2+x_3+ ... +x_n+x_1}{GM}\geq n $
cioè l'AM-GM
$ (a_1,a_2,\dotsc,a_n) $ e $ (\frac 1{a_1},\frac 1{a_2},\cdots,\frac 1{a_n}) $ sono ordinate in modo inverso da cui la tesi:
$ \displaystyle \frac {a_1}{a_2} + \frac {a_1}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_1} \geq \frac {a_1}{a_1} + \frac {a_2}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_n} =n $
Colgo l'occasione per dimostrare anche la disuguaglianza AM-GM. Solitamente per dimostrarla si usa un induzione non-standard e piuttosto complicata da esporre. Esiste un metodo rapidissimo che sfrutta la disuguaglianza posta da Boll. Prendiamo una n-upla di reali positivi $ \{ x_i \} $. Ora poniamo
$ GM=\sqrt [n]{x_1x_2x_3 \dotsb x_n} $
$ a_1=\frac {GM}{x_1} $
$ a_2=\frac {GM^2}{x_1x_2} $
$ a_i=\frac {GM^i}{x_1x_2 \dotsb x_i} $
$ a_n=\frac {GM^n}{x_1x_2 \dotsb x_n}=1 $
Risulterà:
$ \displaystyle \frac {a_1}{a_2} + \frac {a_1}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_1} =\frac {x_2+x_3+ ... +x_n+x_1}{GM}\geq n $
cioè l'AM-GM
Ultima modifica di Simo_the_wolf il 30 mar 2005, 22:40, modificato 2 volte in totale.