Disuguaglianza facilina

[Boll]

Un classicissimo, lo posto propedeutico per le disuguaglianze

Presi tutti gli $ a_i>0 $ trovare il minimo di
$ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1} $

[Pixel]

In teoria basta applicare la disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica...cioè:
$ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1} $>=$ n $
e notare che il valore $ n $ viene assunto quando $ a_1=a_2=...=a_n $
Dunque il minimo è $ n $
Ho mal interpretato il problema ?

Ciao

[Boll]

Un classicissimo, lo posto propedeutico per le disuguaglianze

Nessuna malinterpretanzione Pixel :D, il problema era rivolto a persone un pò meno esperte in disuguaglianze

[Franchifis]

Scusate, ma per quanto mi concentri non riesco a riconoscere la disuguaglianza tra le medie in quella formula. Come viene ricavata?

[Loth]

La media aritmetica di quei rapporti e' $ \frac{\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1}}{n} $
La loro media geometrica e' uno, perche' facendo il prodotto si semplifica tutto.
Quindi di ha MediaAritmetica >= 1, da cui deriva la soluzione scritta da Pixel.

[Boll]

Anyway la soluzione che avevo in mente io era un'altra... A voi il piacere di trovarla

[__Cu_Jo__]

Anyway la soluzione che avevo in mente io era un'altra... A voi il piacere di trovarla

Riordinamento?

[Boll]

Esattamente, credo che in questo caso sia la soluzione più "naturale"

[Simo_the_wolf]

In effetti riordinamento è più semplice... infatti le n-uple
$ (a_1,a_2,\dotsc,a_n) $ e $ (\frac 1{a_1},\frac 1{a_2},\cdots,\frac 1{a_n}) $ sono ordinate in modo inverso da cui la tesi:
$ \displaystyle \frac {a_1}{a_2} + \frac {a_1}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_1} \geq \frac {a_1}{a_1} + \frac {a_2}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_n} =n $

Colgo l'occasione per dimostrare anche la disuguaglianza AM-GM. Solitamente per dimostrarla si usa un induzione non-standard e piuttosto complicata da esporre. Esiste un metodo rapidissimo che sfrutta la disuguaglianza posta da Boll. Prendiamo una n-upla di reali positivi $ \{ x_i \} $. Ora poniamo
$ GM=\sqrt [n]{x_1x_2x_3 \dotsb x_n} $
$ a_1=\frac {GM}{x_1} $
$ a_2=\frac {GM^2}{x_1x_2} $
$ a_i=\frac {GM^i}{x_1x_2 \dotsb x_i} $
$ a_n=\frac {GM^n}{x_1x_2 \dotsb x_n}=1 $
Risulterà:
$ \displaystyle \frac {a_1}{a_2} + \frac {a_1}{a_2} + ... + \frac {a_n}{a_1} =\frac {x_2+x_3+ ... +x_n+x_1}{GM}\geq n $
cioè l'AM-GM

[Boll]

Ezzì, davvero figo quel modo di dimostrare AM-GM, lo vidi giusto ieri sull'Engel...