Dubbio problema febbraio/2017

[mohta]

Salve a tutti, non sono riuscito a risolvere un problema di un febbraio ma non ho capito neanche la soluzione
Il testo: Il polinomio P(x), di grado 42, assume il valore 0 nei primi 21 numeri primi dispari e nei loro reciproci (si ricorda che il reciproco di un intero positivo e' il numero razionale 1/n). Quanto vale il rapporto P(2)/P(1/2)?

La mia idea era quella di scrivere il polinimio come (x-3)(x-5)(x-7).....(x-1/3)....per poi sostituire 2 e successivamente 1/2 con la speranza che si annullino qualche termine ma cosi' non e' stato....

Soluzione ufficiale: Osserviamo che l’espressione Q(x) =P(x)−x^42P(1/x) `e un polinomio, dal momento che il monomio x^42 semplifica il denominatore di P(1/x). Inoltre, esso ha grado al piu' 42, e se r`e uno dei primi 21 numeri primi dispari,Q(x) si annulla in r e in 1/r: in effetti, si ha Q(r) =P(r)−r^42P(1/r) = 0Q(1/r) =P(1/r)−(1/r)42P(r) = 0,dove si `e usato il fatto che P(r) =P(1/r) = 0 per ipotesi. Infine,Q(x) si annulla in 1, perche' Q(1) =P(1)−P(1) = 0. Visto che Q(x) si annulla per almeno 43 valori distinti di x ma e' digrado al pi`u 42 otteniamo che Q(x) `e il polinomio costante 0, dunque si haP(x) =x^42P(1/x)per ogn ix. Si ha percio P(2)/P(1/2)=2^42P(1/2)/P(1/2)= 2^42= 421

Domande:
1) Da dove viene fuori questo? Q(x) =P(x)−x^42P(1/x)
2) "il monomio x^42 semplifica il denominatore di P(1/x), perche'?
Poi non mi e' chiaro nulla del resto della soluzione

Grazie per chiunque rispondera'

[matpro98]

1) è "calato dal cielo", puoi trovare indizi su come ci si arriva nella soluzione, e facendo diversi esercizi di questo tipo dovresti riuscire a trovare questi polinomi autonomamente; quasi sempre vuoi costruire un polinomio che abbia radici in punti che in qualche modo ti piacciono
2) quando calcoli ad esempio $p(2)$, quello che fai è sostituire nel polinomio alla variabile $x$ il valore 2. Allo stesso modo, $p(\frac{1}{x})$ si ottiene sostituendo alla variabile il suo reciproco. Ora, $p(x)$ ha grado 42, quindi in $p(\frac{1}{x})$ avrai $\frac{1}{x^{42}},\frac{1}{x^{41}},\dots$ che si semplificano con il termine moltiplicativo $x^{42}$

Per il resto della soluzione non saprei cosa dirti ora, hai dubbi precisi?

[fph]

Ci sono un po' di problemi e osservazioni "classici" su questo tipo di polinomi, e il problema sembrerà molto più abbordabile una volta che ne hai visti un paio. Per esempio, parti da questi:

1. Se $a(x)$ è un polinomio di grado $d$ con coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$, quali sono i coefficienti di $b(x) = x^d a \left(\frac1x\right)$?
2. Se sai che un certo numero $\lambda$ è uno zero di $a(x)$, sei in grado di individuare uno zero di $b(x)$?

[math19]

1) è "calato dal cielo", puoi trovare indizi su come ci si arriva nella soluzione, e facendo diversi esercizi di questo tipo dovresti riuscire a trovare questi polinomi autonomamente; quasi sempre vuoi costruire un polinomio che abbia radici in punti che in qualche modo ti piacciono

Mmh okay, ora vedo se riesco a trarre qualche indizio nella soluzione...

[math19]

Ci sono un po' di problemi e osservazioni "classici" su questo tipo di polinomi, e il problema sembrerà molto più abbordabile una volta che ne hai visti un paio. Per esempio, parti da questi:

Si questi sembrano un po' hard, ora provo a svolgere qualche problema piu' semplice magari presi da aops

1. Se $a(x)$ è un polinomio di grado $d$ con coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$, quali sono i coefficienti di $b(x) = x^d a \left(\frac1x\right)$?
2. Se sai che un certo numero $\lambda$ è uno zero di $a(x)$, sei in grado di individuare uno zero di $b(x)$?

Ti ringrazio, ora provo a svolgerlo, in caso mando un mess qui....

[fph]

Poi continua con:

Un polinomio $a(x)$ si dice *palindromo* se la lista dei coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$ è uguale alla stessa lista letta nell'ordine opposto, $a_0, a_{1}, \dots, a_d$.

3. Sia $\lambda\neq 0$ uno zero di un polinomio palindromo. Mostra che $\frac{1}{\lambda}$ è un altro zero dello stesso polinomio.
4. Sia $a(x)$ un polinomio, e considera la lista dei suoi zeri, $\lambda_1,\dots,\lambda_d$ (che supponiamo distinti per semplicità). È vero che se questa lista è "chiusa per inversi" (cioè, se $\lambda$ sta nella lista allora ci sta anche $\frac{1}{\lambda}$) allora $a$ è palindromo?

[mohta]

Grazie tante....

[mohta]

Ci sono un po' di problemi e osservazioni "classici" su questo tipo di polinomi, e il problema sembrerà molto più abbordabile una volta che ne hai visti un paio. Per esempio, parti da questi:

1. Se $a(x)$ è un polinomio di grado $d$ con coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$, quali sono i coefficienti di $b(x) = x^d a \left(\frac1x\right)$?
2. Se sai che un certo numero $\lambda$ è uno zero di $a(x)$, sei in grado di individuare uno zero di $b(x)$?

1) a(x)=a_d*(x^d)+a_(d-1)*x^(d-1).......+a_0
b(x)=x^d*(a_d*1/x^d+a_(d-1)*1/(x^(d-1).....+a_0)
b(x)=a_d+a_(d-1)x+a_(d-3)*x^3....+a_0*x^d
Si osserva che i coefficienti hanno subito una simmetria, cioe' il coeffciente di a_d di a(x) e' il coefficiente noto.....

2) non basta prendere tutti i divisore di a_0 e del coefficiente direttore del polinomio a(1/x) in modo da sfruttare il teorema delle radici razionali?

[matpro98]

2) sì se sai che le radici sono razionali, ma non è detto, in generale; e comunque tu no conosci $a_0$ e $a_d$...

[mohta]

Poi continua con:

Un polinomio $a(x)$ si dice *palindromo* se la lista dei coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$ è uguale alla stessa lista letta nell'ordine opposto, $a_0, a_{1}, \dots, a_d$.

3. Sia $\lambda\neq 0$ uno zero di un polinomio palindromo. Mostra che $\frac{1}{\lambda}$ è un altro zero dello stesso polinomio.
4. Sia $a(x)$ un polinomio con $d$ zeri distinti (per semplicità). È vero che se questa lista è "chiusa per inversi" (cioè, se $\lambda$ sta nella lista allora ci sta anche $\frac{1}{\lambda}$) allora $a$ è palindromo?

3) Secondo me dobbiamo distinguere due casi, uno per il numero dei coefficienti dispari e uno per i coefficienti pari.
Per esempio per i coefficienti dispari possiamo avere un polinomio a_d*x^d+a_(d-1)*x^(d-1)+a_0=0
Dato che e' polindromo allora a_d*x^d+a_(d-1)*x^(d-1)+a_0= a_0*x^d+a_(d-1)*x^(d-1)+a_d=0
Se y e' una soluzione di a(x) allora:
a_d*j^d+a_(d-1)*j^(d-1)+a_0=0
a_0*j^d+a_(d-1)*j^(d-1)+a_d=0
Sottraendo membro a membro ottieniamo:
a_d*j^d+a_(d-1)*j^(d-1)+a_0- a_0*j^d-a_(d-1)*j^(d-1)-a_d=0
a_d*(j^d)-a_0*(j^d)+a_0-a_d=0
Dato che a_0=a_d:
a_d*(j^d)-a_0*(j^d)=0

Se 1/j e' una presunta radice, possiamo riscrivere questo a_d*(j^d)-a_0*(j^d)=0 come:
a_d*(1/j^d)-a_0*(1/j^d)=0
(j^d)*(a_0)-j^d*(a_0)=0

Dato che a_0=a_d allora 1/j e' una soluzione
Corretto?

4) Non ho capito la consegna, in che senso lista?

[mohta]

2) sì se sai che le radici sono razionali, ma non è detto, in generale; e comunque tu no conosci $a_0$ e $a_d$...

Ah okay, c'entra per caso ruffini?

[fph]

4) Non ho capito la consegna, in che senso lista?

Ops, corretto. Hai ragione, mancava un pezzo.

Riesci a scrivere le formule in Latex (usando i simboli di dollaro), così è più facile leggere e controllare se è corretto?

[mohta]

Perfetto ora provo, ma il numero 3 e' corretto?

[fph]

Perfetto ora provo, ma il numero 3 e' corretto?

Ti suggerivo di riscriverlo con sintassi Latex proprio perché fosse più facile correggerlo. Comunque, mi sembra di no. L'implicazione in fondo, "Dato che a_0=a_d allora 1/j e' una soluzione", non mi sembra valida; hai dimostrato che se j è soluzione allora valgono certe uguaglianze, ma il viceversa non deve per forza valere.

[mohta]

Va bene, riscrivo in latex