R+ in successione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mattysal
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R+ in successione

Messaggio da Mattysal » 07 mag 2020, 12:26

Siano [math] numeri reali positivi tali che [math] per ogni [math] e [math].
Trovare tutte le 2020-uple di reali positivi che soddisfano questa proprietà.


[Proposto come 2 alla simulazione]

AlexTheBoss
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Re: R+ in successione

Messaggio da AlexTheBoss » 07 mag 2020, 16:33

Testo nascosto:
Poniamo $ x_{2021}=x_{2020}^2-x_{2020}+1 $, abbiamo quindi $ x_{i+1}=x_i^2-x_i+1 $ per ogni $ 0<i<2021 $ e $ x_1=x_{2021} $. Ora dimostriamo che $ x_{i+1} \geq x_{i} $ per ogni $ i $ tale che $ 0<i<2021 $: supponiamo per assurdo ciò sia falso, allora si avrebbe $ x_{i+1} < x_i \Rightarrow x_i^2-x_i+1 < x_i \Rightarrow (x_i-1)^2 < 0 $, assurdo poichè $ x_1,x_2 ... , x_{2020} $ sono numeri reali per ipotesi. Abbiamo dunque $ x_{2021} \geq x_{2020} \geq ... \geq x_2 \geq x_1 $ e poichè $ x_1=x_{2021} $, si ha $ x_1=x_2= ... =x_{2021} $, da cui $ x_2=x_1 \Rightarrow x_1^2-x_1+1=x_1 \Rightarrow (x_1-1)^2=0 \Rightarrow x_1=1 $. Concludiamo dunque che l'unica 2020-upla possibile è $ x_{2020} = x_{2019} = ... = x_2 = x_1 =1 $, che si verifica facilmente essere effettivamente valida.

Mattysal
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Re: R+ in successione

Messaggio da Mattysal » 07 mag 2020, 17:12

AlexTheBoss ha scritto:
07 mag 2020, 16:33
Testo nascosto:
Poniamo $ x_{2021}=x_{2020}^2-x_{2020}+1 $, abbiamo quindi $ x_{i+1}=x_i^2-x_i+1 $ per ogni $ 0<i<2021 $ e $ x_1=x_{2021} $. Ora dimostriamo che $ x_{i+1} \geq x_{i} $ per ogni $ i $ tale che $ 0<i<2021 $: supponiamo per assurdo ciò sia falso, allora si avrebbe $ x_{i+1} < x_i \Rightarrow x_i^2-x_i+1 < x_i \Rightarrow (x_i-1)^2 < 0 $, assurdo poichè $ x_1,x_2 ... , x_{2020} $ sono numeri reali per ipotesi. Abbiamo dunque $ x_{2021} \geq x_{2020} \geq ... \geq x_2 \geq x_1 $ e poichè $ x_1=x_{2021} $, si ha $ x_1=x_2= ... =x_{2021} $, da cui $ x_2=x_1 \Rightarrow x_1^2-x_1+1=x_1 \Rightarrow (x_1-1)^2=0 \Rightarrow x_1=1 $. Concludiamo dunque che l'unica 2020-upla possibile è $ x_{2020} = x_{2019} = ... = x_2 = x_1 =1 $, che si verifica facilmente essere effettivamente valida.
Bene, mi sembra che torni :D

scambret
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Re: R+ in successione

Messaggio da scambret » 08 mag 2020, 14:52

Suggerisco un altro approccio, così de botto, senza senso: sommiamo tutte le uguaglianze e ci troviamo una somma di quadrati

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