Disuguaglianza non omogenea

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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MatteD
Messaggi: 5
Iscritto il: 16 gen 2020, 20:01

Disuguaglianza non omogenea

Messaggio da MatteD »

Siano [math] reali. Dimostrare che vale
[math]
e trovare i casi di uguaglianza.
mat2772
Messaggi: 20
Iscritto il: 06 dic 2018, 19:49

Re: Disuguaglianza non omogenea

Messaggio da mat2772 »

Testo nascosto:
Poniamo $abc=p$, $ab+bc+ca=q$ e $a+b+c=s$, sostituendo nella disuguaglianza troviamo $$2p+2+\sqrt{2(p-s)^2+2(q-1)^2} \geq p+q+s+1 \rightarrow \sqrt{2(s-p)^2+(q-1)^2} \geq (s-p)+(q-1) $$
Ma da $AM-QM$ segue $$ \sqrt{2(s-p)^2+(q-1)^2} \geq |s-p|+ |q-1| \geq (s-p)+(q-1) $$
I casi di uguaglianza sono quelli che soddisfano $s-p=q-1 \geq 0$, volendo essere più precisi possiamo dire che $a=\frac{-bc+b+c+1}{bc+b+c-1}$ con $bc+b+c-1>0$.
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