Radici di un polinomio di 4º grado paramentrico

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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dodo3
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Radici di un polinomio di 4º grado paramentrico

Messaggio da dodo3 » 10 mar 2020, 13:30

Mi servirebbe una mano con questo problema (nº2 gare a squadre Sapienza, 2017)
Per quanti valori del parametro reale a il polinomio p(x)=x4 +4x3 +9x2 +7x+a
possiede 4 radici reali distinte?
Ho evidenziato nella soluzione i passaggi che non mi sono chiari, se qualcuno fosse così gentile da spiegarmeli mi farebbe un piacere.
Testo nascosto:
Soluzione: per nessun valore reale di a
Se p(x) = x4 + 4x3 + 9x2 + 7x + a ha quattro radici distinte, lo stesso `e vero per
q(x)=p(x−1)=x4 +3x2 −3x+(a−1).
Avendo quattro radici distinte, q(x) si fattorizza in (x2 + bx + d)(x2 + cx + e), dove b2 −4d>0 c2 −4e>0.
Si ricava subito c = −b. Da c = −b, le due disuguaglianze precedenti b2 −4d > 0 e c2 −4e > 0 diventano b2 −4d > 0 e b2 −4e > 0. Quindi in particolare si ha 2b2 > 4(d+e). Dal prodotto sappiamo che d+e = 3+b2, dunque 2b2 > 4(3+b2) = 12+4b2, ovvero −2b2 > 12, che `e assurdo.
[gli esponenti sono indicati dopo la base e non in apice]

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Lasker
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Re: Radici di un polinomio di 4º grado paramentrico

Messaggio da Lasker » 10 mar 2020, 19:44

Quello che sta facendo è espandere quel brutto prodotto di secondi gradi come polinomio parametrico di quarto grado.
$$q(x)=x^4+3x^2-3x+a-1=(x^2+bx+d)(x^2+cx+e)=x^4+(b+c)x^3+(bc+d+e)x^2+(be+cd)x+de$$
E ora usa il principio di identità dei polinomi (se due polinomi sono uguali, allora hanno gli stessi coefficienti), quindi guardando il grado $4$ viene $1=1$ (nulla di nuovo), guardando il grado $3$ trovi $0=b+c$ (che è la prima delle due condizioni che usa), guardando il coefficiente del termine di grado $2$ ottieni $3=bc+d+e$, ma $b=-c$ perché l'hai trovato prima, quindi sostituendo $3=-b^2+d+e$ che è l'altra condizione che usa. Poi puoi divertirti anche a scrivere le altre due condizioni inutili che saltano fuori, $be+cd=-3$ e $de=a-1$.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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dodo3
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Re: Radici di un polinomio di 4º grado paramentrico

Messaggio da dodo3 » 15 mar 2020, 10:49

Grazie mille

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