Successionegvng

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Fenu
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Successionegvng

Messaggio da Fenu » 27 feb 2020, 14:04

Un "brutto" virus si sta spargendo a Flatlandia. Durante l'$n-$esimo giorno (dall'inizio dell'epidemia) vengono rese infette $a_n$ persone.
Un esagono, dunque una persona di alto rango, si rende conto di una particolare relazione tra gli $a_n$, guardando solo i primi termini.
Si rende conto che $a_n$ è dato dal valore di $a_{n-1}$ scritto in base $n-1$, ma "interpretato" in base $n$, al quale viene aggiunto $2$ (sempre in base $n$).. ri-convertito in base $10$. $a_1=1$, $a_2=3$.. in questo modo, dato che $a_2=3_{10}=11_2$, allora $a_3=11_3+2_3=20_3=6_{10}$. Pertanto il terzo giorno verranno rese infette $6$ persone. Quante persone verranno rese infette solo il $2020-$esimo giorno?

TeoricodeiNumeri
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Re: Successionegvng

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 11 lug 2020, 11:49

Testo nascosto:

Mostriamo per induzione sui naturali maggiori di $2$ che $a_{n}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(n/3)\rfloor ; 2\cdot(n-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(n/3)\rfloor })}_{n}$.

Passo base: $a_{3}=6=20_3=\overline{ 2+\lfloor \log_2(3/3)\rfloor ; 2\cdot(3-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(3/3)\rfloor })}_{3}$.

Passo induttivo: supponiamo che $a_{n}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(n/3)\rfloor ; 2\cdot(n-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(n/3)\rfloor })}_{n}$ e mostriamo che $a_{n+1}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor ; 2\cdot(n+1-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor })}_{n+1}$. Distinguiamo due casi:

1) $\lfloor \log_2(n/3)\rfloor=\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor$: allora $ 2\cdot(n-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(n/3)\rfloor })<n+1$, da cui seguendo le operazioni del problema si ottiene $a_{n+1}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(n/3)\rfloor ; 2\cdot(n+1-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(n/3)\rfloor })}_{n+1}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor ; 2\cdot(n+1-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor })}_{n+1}$ e quindi questo caso è dimostrato.

2)$\lfloor \log_2(n/3)\rfloor +1=\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor$. E' facile verificare che questo succede se e solo se $n+1=3\cdot 2^m$ per qualche $m$ intero positivo. Operando secondo la traccia otteniamo che, siccome $2\cdot (3\cdot 2^{m}-1-3\cdot 2^{m-1})+2=n+1$, abbiamo che $a_{n+1}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(n/3)\rfloor +1 ; 0}_{n+1}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor ; 2\cdot(n+1-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(\frac{n+1}{3})\rfloor })}_{n+1}$.

Il teorema è quindi dimostrato.

Perciò $a_{2020}=\overline{ 2+\lfloor \log_2(2020/3)\rfloor ; 2\cdot(2020-3\cdot 2^{\lfloor \log_2(2020/3)\rfloor })}_{2020}=\overline{ 2+9; 2\cdot(2020-3\cdot 2^{9})}_{2020}=\overline{11;968}_{2020}=23188_{10}$.

P.S. la formula vale anche per 2 LOL
P.S. Scusate se stamani ho eliminato e successivamente ripostato questo messaggio ma avevo proposto questo problema per una gara di matematica "amatoriale".

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