Teoria di Galois

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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ierallo
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Teoria di Galois

Messaggio da ierallo » 06 feb 2020, 14:45

Potreste darmi una illustrazione delle idee principali che hanno ispirato Galois a costruire la sua teoria?
Grazie!

erFuricksen
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Re: Teoria di Galois

Messaggio da erFuricksen » 11 feb 2020, 18:42

Ciao,
diciamo che gli studi di Galois nascono dal secolare problema, al tempo irrisolto, di trovare le soluzioni dell'equazione polinomiale di grado generico. Infatti, sappiamo che data un'equazione di grado $n$ esistono $n$ radici complesse che la risolvono, per il teorema fondamentale dell'algebra, tuttavia non è detto che riusciamo a scrivere tali radici esplicitamente, ovvero come funzioni "semplici" dei coefficienti. Con "semplici" intendo dire le usuali operazioni e la radice $m$-esima generica. Nel sedicesimo secolo erano state trovate esplicitamente le soluzioni generiche alle equazioni di terzo e quarto grado, tuttavia fino al diciannovesimo secolo si era continuato ad ignorare se esistessero delle forme anche per le equazioni di grado maggiore. Galois determinò, tramite la sua teoria, una condizione sufficiente e necessaria affinché dato un polinomio qualunque si riescano a esprimere esplicitamente le sue radici, dimostrando quindi che per ogni $n \geq 5$ esiste un'equazione di grado $n$ di cui non possiamo scrivere le soluzioni.
L'idea alla base della sua teoria (cercherò di farla molto semplice) consiste nel considerare il polinomio $p$ e l'insieme delle sue radici $R$, ovviamente $|R|=\deg p$, supponiamo che $p$ abbia coefficienti razionali, cerchiamo allora delle funzioni $\sigma : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tali che $\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$ e $\sigma(\alpha \cdot \beta)=\sigma(\alpha) \cdot \sigma(\beta)$, $\forall \alpha , \beta \in \mathbb{C}$ e per cui $\sigma(a)=a \ \forall a \in \mathbb{Q}$. Non è difficile notare che se $p(\alpha)=0$ allora $p(\sigma(\alpha))=\sigma(p(\alpha))=\sigma(0)=0$, pertanto ogni $\sigma$ manda radici di $p$ in radici di $p$. Questo vuol dire che se guardiamo la restrizione di ognuno di questi $\sigma$ all'insieme $R$ delle radici di $p$ otterremo che $\sigma |_R$ è una permutazione di $R$ (infatti l'immagine è contenuta in $R$ e per cardinalità ci basta verificare che è iniettiva, ma questo è vero perché $0=\sigma(\alpha)-\sigma(\beta)=\sigma(\alpha-\beta)$, ci resta da vedere che se $\sigma(x)=0$ allora $x=0$. Questo è vero perché se così non fosse $1=\sigma(1)=\sigma(x \cdot \frac{1}{x})=\sigma(x) \cdot \sigma(\frac{1}{x})=0$). Chiamiamo $G$ l'insieme di tali permutazioni, è chiaro che $G$ è un sottoinsieme delle permutazioni dell'insieme $\{1,...,n\}$ (che chiameremo $S_n$), a meno di numerare le radici.
A questo punto la faccenda si complica... Tali funzioni $\sigma$ di cui abbiamo parlato possono essere composte e restituire ancora una funzione che rispetta tali proprietà (provare per credere), d'altronde la composizione di permutazioni è una permutazione, inoltre si può mostrare che l'insieme $G$ è tale per cui se $\sigma , \tau \in G$ allora $\sigma \circ \tau \in G$ e $\sigma^{-1} \in G$ come permutazione. Dunque possiamo studiare come sono fatti i sottoinsiemi di $S_n$ con questa proprietà. Galois ha trovato una corrispondenza fra tali sottoinsiemi e le scomposizioni di $p$ che "minimizzano la bruttezza" dei coefficienti dei fattori (non conosco la tua preparazione in materia, ma se hai qualche nozione di campi e polinomi irriducibili posso approfondire la questione, per ora passami questa espressione), detta appunto corrispondenza di Galois.
Essenzialmente la teoria di Galois si fonda su questa corrispondenza e da tutti gli studi e implicazioni che ne possono derivare. Per arrivare a risolvere il problema della soluzione all'equazione di quinto grado, quello che si fa è guardare le catene di sottoinsiemi di $G$ che rispettino la proprietà della composizione e dell'inverso citate in precedenza, dunque se si trova una tale catena $\{id\}=G_0 \subseteq G_1 \subseteq ... \subseteq G_r=G$ tale per cui le varie inclusioni "si comportano bene" e per cui $\frac{|G_{i+1}|}{|G_i|}$ è primo, allora è possibile trovare una soluzione esplicita all'equazione (moralmente ogni volta che passo da un sottoinsieme all'altro sto estraendo la radice $\frac{|G_{i+1}|}{|G_i|}$-esima r poi riarrangiando i termini con le usuali operazioni*), in particolare è possibile farlo solo in tali casi. Tuttavia si può dimostrare che per $n \leq 4$ e per ogni $G \subseteq S_n$ ricavato come sopra esiste sempre una tale catena, mentre $\forall n \geq 5$ non esiste mai una tale catena quando $G=S_n$. Si può poi dimostrare che è sempre possibile scegliere un polinomio $p$ di grado $n$ per cui il suo $G$ associato è proprio $S_n$, dunque di conseguenza è possibile trovare un'equazione di grado $n$ le cui soluzioni non sono scrivibili esplicitamente.
Se hai altri dubbi o vuoi chiarimenti più specifici chiedi pure!

*pensa ad esempio alla formula di Cardano per l'equazione di terzo grado, se prendo un polinomio molto generico allora lui avrà $G=S_3$, dunque $|G|=6$, pertanto i quozienti fra le cardinalità dei sottoinsiemi della catena saranno 2 e 3, infatti nella formula compaiono prima delle radici quadrate e poi delle radici cubiche (che è evidente che vengono applicate dopo quelle quadrate).
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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