esercizio su massimo e minimo in Q

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Rufy
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esercizio su massimo e minimo in Q

Messaggio da Rufy » 19 gen 2020, 17:36

Propongo un esercizio, dimostrare che preso $A = \{x \in \mathbb{Q}^+| x^2 < 2\}$ e $B = \{x \in \mathbb{Q}^+ | x^2 > 2\}$ si ha che $A$ non ha massimo e $B$ non ha minimo

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valebadda
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Re: esercizio su massimo e minimo in Q

Messaggio da valebadda » 03 ago 2020, 00:17

Non sono molto pratico con questo tipo di esercizi, ma questa dovrebbe essere una soluzione valida:
Testo nascosto:
Supponiamo per assurdo che esista un numero $ m=max(A) $, definiamo allora $ k=2-m $: chiaramente, $ k>0 $, dunque definiamo $ n=\frac{1}{\frac{1}{k}+1} $. Ora si ha che $ 2>n>\frac{1}{\frac{1}{k}}=k $, assurdo.

La soluzione al secondo punto è analoga
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Rufy
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Re: esercizio su massimo e minimo in Q

Messaggio da Rufy » 03 ago 2020, 15:45

No, non va bene.

Primo se m è massimo e prendi 2 - m può benissimo esserci un n di mezzo 2-m < n < m per esempio.

Secondo nella tua catena di disequazioni finale è 2 > k > n

:)

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valebadda
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Re: esercizio su massimo e minimo in Q

Messaggio da valebadda » 04 ago 2020, 01:14

La frazione voleva avere un meno e non un più, comunque ho letto solo ora x²...
Imagino però che la soluzione possa essere simile, scegliendo però n quadrato di un razionale (?).
QVOD·ERAT·DEFECANDVM [math]

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Leonhard Euler
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Re: esercizio su massimo e minimo in Q

Messaggio da Leonhard Euler » 12 ago 2020, 18:09

Sketch rapido:
Testo nascosto:
Per assurdo sia $ m=\frac{a}{b} $ max di $ A $ o min di $ B $.
Si consideri $ n=\frac{3a+4b}{3b+2a} $, si vede che nei due casi: $ m<n<\sqrt2 $ oppure $ \sqrt2<n<m $.
Uno si domanda da dove viene la mia bizzarra scelta di $ n $, beh la ricorsione $ x_n=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+x_{n-1}}} $ converge sia dal basso che dall’alto a $ \sqrt2 $, quindi da ogni razionale, trovo un razionale migliore.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

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Leonhard Euler
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Re: esercizio su massimo e minimo in Q

Messaggio da Leonhard Euler » 12 ago 2020, 18:24

Altra dimostrazione che mi è appena venuta:
Testo nascosto:
Se $ A $ e $ B $ hanno entrambi massimo e minimo, $ a=\max(A) $ e $ b=\min(B) $, allora $ n=\frac{a+b}{2} $ è razionale e cade in uno dei due insiemi, e inoltre sarebbe più grande di $ a $ e più piccolo di $ b $, il che lo classificherebbe come nuovo o massimo o minimo.
Se uno dei due è limitato ad $ y $ e l’altro no, allora prendo dall’insieme non limitato un $ x $ per cui $ \frac{x+y}{2} $ cada nell’insieme limitato, si è trovato così un nuovo massimo/minimo.
Unica possibilità che siano entrambi illimitati.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

emmeci
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Re: esercizio su massimo e minimo in Q

Messaggio da emmeci » 17 ago 2020, 21:25

Mando un'altra soluzione, simile a quella di valebadda.
Testo nascosto:
A non ha massimo perché ogni $ x $ accettabile può essere maggiorato da
$ x_1=x+\frac 1 {[\frac1 {\sqrt2-x}+1]} $ (la quadra indica la parte intera)
E' evidente che $ x_1 $ e razionale; occorre dimostrare che è minore di $ \sqrt2 $. Poiché la parte intera di un numero è maggiore del numero diminuito di 1
$ [\frac1 {\sqrt2-x}+1]>\frac1 {\sqrt2-x} $
Considerando gli inversi e notando che tutto è positivo
$ \frac 1 {[\frac1 {\sqrt2-x}+1]}< \sqrt2-x $ quindi $ x_1<x+(\sqrt2-x)=\sqrt2 $

Per B il ragionamento è analogo, partendo da $ x_1=x-\frac 1 {[\frac1 {x-\sqrt2}]} $ ed usando il fatto che la parte intera di un numero è minore del numero (o uguale, ma qui non può succedere).

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