Funzional-etilica

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Fenu
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Funzional-etilica

Messaggio da Fenu » 29 giu 2019, 19:17

Determinare tutte le $f : \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ tali che
$$f(x^2+y+f(y))=2y+f(x)^2.$$

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Leonhard Euler
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Re: Funzional-etilica

Messaggio da Leonhard Euler » 02 lug 2019, 19:12

Testo nascosto:
Sia $ P(x,y) $ il predicato dell'equazione funzionale $ f(x^2+y+f(y))=2y+f(x)^2 $.
$ P(0,y) $$ \implies $$ f(y+f(y))=2y+f(0)^2 $
Da cui segue la bigettività di $ f $.
$ P(x,y)-P(-x,y) $$ \implies $$ f(x)^2=f(-x)^2 $
Da cui per certi $ x $ reali $ f(x)=f(-x) $ e per altri $ f(x)=-f(-x) $, tuttavia la bigettività della funzione comporta l'esclusione del caso $ f(x)=f(-x) $ se non per $ x=0 $. Pertanto $ f $ è dispari e $ f(0)=0 $.
$ P(x,0) $$ \implies $$ f(x^2)=f(x)^2 $
$ P(x,x^2) $$ \implies $$ f(2x^2+f(x^2))=2x^2+f(x)^2=2x^2+f(x^2) $
Ponendo $ z=2x^2+f(x^2) $, si ha $ f(z)=z $, con l'accortezza di notare che $ z $ debba essere reale non negativo, la disparità della funzione consente di concludere $ f(x)=x $ per ogni $ x $ reale. Sostituendo nel testo si vede come questa sia effettivamente soluzione.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

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Fenu
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Re: Funzional-etilica

Messaggio da Fenu » 02 lug 2019, 19:57

Ciao! Anzitutto grazie per la risposta, ma potresti spiegarmi perché la seconda riga implica la bigettività? ovviamente la suriettività, ma la iniettivita come te le garantisce? Quando la ho risolta, non so perchè, pensavo che la iniettività non fosse garantita pertanto ho avuto bisogno di altri passaggi..

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