Allenamento online odierno

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Tilli
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Allenamento online odierno

Messaggio da Tilli » 18 mar 2019, 21:37

Buonasera a tutti. Vorrei chiedere una mano con i problemi 11 e 15 dell'allenamento online di oggi che non sono riuscito a svolgere. Ringrazio in anticipo :D
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PIELEO13
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Re: Allenamento online odierno

Messaggio da PIELEO13 » 20 mar 2019, 19:05

Allora ti riporto la mia soluzione dell'esercizio 15.
Cominciamo osservando che le radici del polinomio [math] sono le radici settime dell'unità (non 1), in quanto [math]. Ora notiamo per esempio che se [math] allora deve valere che (chiamerò [math] una radice settima dell'unità) [math]. Infine notiamo che ovviamente [math]. In particolare da questo segue che se [math] allora [math]. Dopo avere fatto queste osservazioni preliminari cominciamo a risolvere l'esercizio.

Quello che vogliamo fare è calcolare [math] tale che [math] dove [math] sarà un certo polinomio di cui ora non ci importa mentre [math] oppure [math].
Per prima cosa vale che [math]. Visto che non fa zero notiamo subito che [math] non divide [math]. Considero [math].
Ora scrivo [math] e ci butto dentro [math]. Notiamo che a sinistra adesso viene [math]. Quindi [math] divide il membro di sinistra. Allora divide anche il membro di destra e in particolare divide [math] cioè [math].
Scrivo allora [math]. A questo punto diventa facile calcolare[math] perché sia [math] che [math] hanno grado 6. L'unica possibilità diventa [math] e un conto semplice mi dà [math]. Valuti in 2 e ottieni il risultato cercato.

Sono stato un po' prolisso per cercare di essere il più chiaro possibile ma non so se ci sono riuscito :D

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