Pre-RMM

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Saro00
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Messaggio da Saro00 » 14 feb 2019, 21:01

Siano [math] e [math] due polinomi a coefficienti complessi che hanno lo stesso insieme di radici. Dimostrare che se anche [math] e [math] hanno lo stesso insieme di radici allora [math] e $ q(x) $ sono uguali.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

nicarepo
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Re: Pre-RMM

Messaggio da nicarepo » 15 feb 2019, 21:26

Nel caso si intendesse che le radici sono contate con la stessa molteplicità:
Testo nascosto:
$ \displaystyle p(x)= \sum_{k=1}^n a_kx^k = A(x-x_1)^{q_1} ... (x-x_t)^{q_t} $
$ \displaystyle q(x) = \sum_{k=1}^n b_kx^k = B(x-x_1)^{q_1} ... (x-x_t)^{q_t} $ con $ x_i \in \mathbb{C}. $ Per Gauss $ \sum_{i=1}^t q_i =n. $
Quindi i coefficienti differiscono di un fattore di proporzionalità: $ a_i=k \cdot b_i $ con $ k=A/B. $ Inoltre $ p(x)+1=C(x-y_1)^{m_1}...(x-y_p)^{m_p} $ e $ q(x)+1= D(x-y_1)^{m_1}...(x-y_p)^{m_p} $ dall'uguaglianza tra coefficienti $ k=C/D $ da cui si ricava: $ a_0 + 1 = k(b_0 +1). $ Sostituendo si ottiene $ k=1 $ ovvero l'uguaglianza dei polinomi.

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Fenu
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Re: Pre-RMM

Messaggio da Fenu » 15 feb 2019, 22:42

Potrei sbagliarmi, ma sono abbastanza sicuro non vadano contate con molteplicità.

Saro00
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Re: Pre-RMM

Messaggio da Saro00 » 16 feb 2019, 11:47

Sì, chiaramente contate senza molteplicità, se no il problema diventa banale
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

nicarepo
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Re: Pre-RMM

Messaggio da nicarepo » 16 feb 2019, 14:20

Si in effetti mi sembrava un po' troppo semplice in quel modo. Provo a dare la soluzione generale:
Testo nascosto:
I due polinomi si possono sempre scrivere come: $ \displaystyle p(x)= \sum_{k=0}^n a_kx^k $ e $ \displaystyle q(x)= \sum_{k=0}^n b_kx^k $ dato che hanno lo stesso insieme di radici: $ \displaystyle p(x)= a_n \prod_{a=1}^q (x-x_a)^{m_a} $ e $ \displaystyle q(x)= b_n \prod_{b=1}^q (x-x_a)^{\mu_a} $ differiscono, oltre che per il coefficiente, di un prodotto di binomi. Per avere l'uguaglianza si può scrivere:
$ \displaystyle \prod_{h=1}^s (x-x_{a_h})^{m_{a_h}-\mu_{a_h}} \cdot p(x)=c \cdot q(x) \cdot \prod_{k=1}^p (x-x_{a_k})^{\mu_{a_k} - m_{a_k}} $
Per semplificare la notazione: $ h(x) p(x) = c q(x) k(x). $ Il grado massimo dei polinomi che si moltiplicano a destra e a sinistra è $ n-q $ ed è uguale per entrambi. Ripetendo le stesse operazioni per $ p(x)+1 $ e $ q(x)+1 $ si ottiene: $ i(x) p(x) = c
q(x) j(x) +c j(x) - i(x). $ Moltiplicando ambo i membri per $ h(x) $ si ottiene: $ cq(ki-jh)=cjh-ih $. Ma i polinomi $ k(x)i(x), $ $ j(x)h(x), $ $ i(x)h(x) $ hanno lo stesso grado, quindi l'uguaglianza si verifica solo se il grado è zero. A questo punto si ottiene $ p(x)=cq(x) $ e si può usare la considerazione che ho fatto prima.

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