Popolo degli Unef, sezione corretta.

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Fenu
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Popolo degli Unef, sezione corretta.

Messaggio da Fenu » 19 ago 2018, 22:44

Causa svista inerente la sezione, riposto sperando non sia un disturbo.

Il popolo degli uneF, per motivi apparentemente sconosciuti, ragiona spesso in base $3$. Durante una giornata di pioggia, il vecchio del villaggio (il cui nome rimarrà sconosciuto per almeno un'altra settimane), si rese conto che:
Detto $K$ il sottoinsieme di $[0, 1]$ contenente tutti i reali aventi espansione ternaria del tipo $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}$ dove la successione $(a_n)$ è tale che $a_n \in \{0, 2\}$, allora $K$ è il complementare di $[0, 1]$ rispetto all'unione di insiemi disgiunti $I_n$, la cui somma degli intervalli è $1$.
Il vecchio era noto per le sue numerose congetture rivelatesi false: questa però era differente, era corretta.
Sapresti fornire una dimostrazione?
Bonus:
Testo nascosto:
Che collegamento vi è tra la scrittura in base $2$ di $n$ ed $I_n$?

nicarepo
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Re: Popolo degli Unef, sezione corretta.

Messaggio da nicarepo » 26 dic 2018, 19:11

Scusa Fenu, ma non riesco a capire bene quello che si deve dimostrare, potresti spiegare meglio l'ultima parte (per capirci da ...allora K è...). In particolare cos'è I con n?

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Fenu
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Re: Popolo degli Unef, sezione corretta.

Messaggio da Fenu » 27 dic 2018, 10:47

Dovresti dimostrare che la somma degli intervalli $I$ vale $1$. Detto in maniera poco formale, che "la misura di $K$ è zero".. mi sono spiegato?

SPhantom
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Re: Popolo degli Unef, sezione corretta.

Messaggio da SPhantom » 05 mag 2019, 20:43

K per definizione è l‘insieme di Cantor (o come si chiama) ed ha misura 0. Più precisamente si può definire K come il limite per n che tende ad ∞ di K con n ,dove K con n è l’insieme dei numeri che in notazione ternaria hanno solo 0 e 2 nelle prime n cifre dopo la virgola.Si osserva che la misura di K con n è 2/3 della misura di K con n-1, perché devo togliere i numeri che hanno 1 alla n-esima cifra ,che sono 1/3 dei numeri in K con n-1.Allora la misura di K con n è (2/3)^n·K0 che ha limite 0 per n→∞.

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