First Funzionale

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Maionsss
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First Funzionale

Messaggio da Maionsss » 27 giu 2018, 13:09

Trovare tutte le $ f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ tali che
$ f(xf(x) + f(y)) =f(x) ^2+y $
Testo nascosto:
Sono riuscito a dimostrare che $ f $ è bigettiva e ho anche notato che la funzione identica $ f(x) =x $ verifica l'equazione funzionale ma (so che può sembrare stupido) non so come passare da: $ f $ è bigettiva, a : allora $ f(x) =x $.
Spero di essermi spiegato bene :oops:

PG93
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Re: First Funzionale

Messaggio da PG93 » 27 giu 2018, 13:53

Sei sicuro che $f(x)=x$ sia l'unica soluzione? A me sembra che anche $f(x)=-x$ funzioni...

Maionsss
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Re: First Funzionale

Messaggio da Maionsss » 27 giu 2018, 14:22

Ecco, in generale, non so bene come concludere una volta che so che $ f $ è bigettiva....
Testo nascosto:
Dovrei forse provare a fare delle sostituzioni "comode" alle incognite per ottenere delle ulteriori informazioni?

1729
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Re: First Funzionale

Messaggio da 1729 » 27 giu 2018, 14:26

Prova a porre [math]

bananamaths
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Re: First Funzionale

Messaggio da bananamaths » 27 giu 2018, 16:15

se scrivo poniamo che ci sia una t per cui [math] ora pongo che [math] e ottengo [math] e quindì ottengo
[math] da cui [math] e [math] e alla fine ricapitolando la t è uguale a zero. Poi non so se ci siano latre soluzioni.

PG93
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Re: First Funzionale

Messaggio da PG93 » 27 giu 2018, 16:59

Mi sembra che così vada bene...
Testo nascosto:
Fissando $x=0$ si ha $f(f(y))=f(0)^2+y$, perciò $f$ è surgettiva. Inoltre, se $f(y)=f(x)$ per due reali $x$ e $y$ ottengo:
$$f(xf(x)+f(y))=f(xf(x)+f(x))\Rightarrow f(x)^2+y=f(x)^2+x\Rightarrow x=y$$
dunque $f$ è iniettiva e finalmente $f$ è bigettiva.
Ora, come l'ha fatto @bananamaths, se chiamiamo $t$ il reale che verifica $f(t)=0$, ponendo $x=t$ otteniamo $f(f(y))=y$. Perciò, sostituendo $f(x)$ a $x$ nell'equazione funzionale si ha: $f(xf(x)+f(y))=x^2+y$, e siccome $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$ si ha $f(x)^2=x^2$ per ogni reale $x$. Ciò significa innanzitutto che $f(0)=0$, e poi che per ogni $x\in\mathbb{R}$ si ha $f(x)=x$ o $f(x)=-x$.
Ora, supponiamo che esistano $x,y\in\mathbb{R^*}$ distinti tali che $f(x)=x$ e $f(y)=-y$. Allora:
$$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y\Leftrightarrow f(x^2-y)=x^2+y$$
Ora, si ha $f(x^2-y)=x^2-y$ oppure $f(x^2-y)=y-x^2$; nel primo caso, risulta $y=0$, nel secondo $x=0$: entrambi i risultati contraddicono l'ipotesi $x,y\in\mathbb{R^*}$.
Dunque le soluzioni sono $f(x)=x$ e $f(x)=-x$, che funzionano chiaramente :D

bananamaths
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Re: First Funzionale

Messaggio da bananamaths » 27 giu 2018, 17:10

Ringrazio @PG93 :D da [math] non ero riuscito a ricondurmi alle soluzioni[math] infatti anche io usato quello che aveva detto @1729 ovvero di porre [math]

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