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Buongiorno a tutti mi scuso per il disturbo. Volevo chiedervi se mi potreste spiegare perchè la funzione [math]f(3f(y))=f(0)+ay è iniettiva e sugettiva e volevo anche capire inoltre perchè la funzione [math]f(f(y)) e anche essa iniettiva e surgettiva e quale è il metodo per capire comunque se una funzione è iniettiva o surgettiva o entrambe. Ringrazzio in anticipo

Comincio dalla prima, ovviamente supponendo $a≠0$.
Supponiamo per assurdo che non sia suriettiva. Esiste quindi un valore $s$ tale che non esiste $x$ tale che $f(x)=s$. Però, per $y=\dfrac{s-f(0)}a$ ho $f(3f(y))=s$, il che contraddice la nostra ipotesi. Quindi, $f$ è suriettiva.
Supponiamo invece per assurdo che non sia iniettiva. Esistono quindi $t$ e $x$ distinti tali che $f(t)=f(x)=s$ per un certo $s$. Sostituendo $y=t$ otteniamo $f(3s)=f(0)+at$. Sostituendo $y=x$ otteniamo $f(3s)=f(0)+ax$. Quindi ho $f(0)+at=f(0)+ax$, da cui $t=x$, che contraddice la nostra ipotesi secondo cui $t$ e $x$ sono distinti.

Nella seconda, non mi è chiaro se con $f$ intendi la stessa $f$ del primo caso...

Grazie mille sirio. Nella seconda la f è diversa dalla prima.

In generale, se $f$ e $g$ sono funzioni con $g(x)=f(f(x))$, non è vero che $g$ è iniettiva né che sia suriettiva. Anzi, se $f$ è costante, pure $g$ lo è. Può essere che nel testo del problema ci fossero altre condizioni?

Ho riguardato cera scritto [math]f(f(y))=y.

Ok, qui la tecnica da usare è la stessa del primo caso, anche più semplice per certi versi... Vuoi provare tu?

[math]Prendo x e t distinti in modo da ottenere [math]f(t)=f(x)=k quindi pongo prima y =t e poi y=x e ottengo [math]f(f(t))=t e f(f(x))=x ma sappiamo che f(f(x)) = f(f(t)) perchè avevamo posto f(x)=k e f(t)=k ma allora si ha anche che x=t e qua dimostro l iniettivita.

Per la suriettivita credo che abbiamo f(f(y))=y quindi abbiamo che per ogni y nel dominio abbiamo un immagine uguale a y e quindi ce un immagine per ogni y del dominio e quindi non ce un k tale che non esista y in modo che f(y)=k.

Ok l'idea è quella, si potrebbe formalizzare meglio ma c'è. Per iniettività invece?

La iniettivita lo ho mostrata prima di quella suriettiva.ti ringrazio per avermi risposto

Ah già, scusami, non l'avevo notato
Comunque, anche quella va bene!

Più in generale la cosa importante da sapere è che se $f$ e $g$ sono due funzioni, allora vale che:
Se $f(g(x))$ è iniettiva allora $g(x)$ è iniettiva.
Se $f(g(x))$ è suriettiva allora $f(x)$ è suriettiva.

Sono entrambe piuttosto semplici da dimostrare, quindi ti invito a farlo. In particolare potresti anche trovare dei controesempi che mostrino perché tutte le altre implicazioni sono false (ad esempio nel primo caso non è detto che $f$ sia iniettiva, perché?)

Ringrazzio per l aiuto comunque provo a dimonstrarle.