OliForum Matematico

Sia [math]p(x) il polinomio che si ottiene sviluppando [math](1+x^{64}+x^{83})^{1000} e poi sommando tra loro i termini simili.
Qual è il più grande [math]n intero positivo che non supera 10000 e tale che in [math]p(x) non c'è il termine di grado [math]n?

Direi generatrici, anche se ci vuole un minimo di esperienza. Per esempio che $1+x^{64}+x^{83}$ va prima scritto "meglio" (almeno per come procederei io)

Quindi se chiamiamo [math]A(x) = 1+ x^{64}+x^{128}+.... = \displaystyle\sum_{k\in\mathbb{N}} (x^{64k}) = \frac{1}{1-x^{64}} e $ B(x) = 1+ x^{83}+x^{166}+....= \displaystyle\sum_{i\in\mathbb{N}} (x^{83i}) = \frac{1}{1-x^{83}} $ allora l'$ n $ richiesto non è altro che il grado più alto minore di $ 10000 $ del termine di coefficiente $ 0 $ del polinomio $ A(x) B(x) $. Ovvero il più grande $ n $ minore di [math]10000 per cui l'equazione $ 64k+83i=n $ non ha soluzioni su $ \mathbb{N} $.
Correggimi se sbaglio...

Credo che proseguendo così puoi farcela a finire (a meno che non stia prendendo un granchio) però non sono più convinto che sia più facile che espandere direttamente... magari dopotutto era meglio fare la diofantea a mano

Comunque sia accetto ogni tipo di suggerimento
Ad esempio tu come avevi intenzione di scrivere "meglio" $ 1+x^{64}+x^{83} $?

Pensavo che dividerlo per $(1+x+x^2)^{1000}=\frac{(1-x^3)^{1000}}{(1-x)^{1000}}$ aiutasse (perché l'ultimo pezzo lo puoi scrivere come prodotto di due sommatorie) ma mi sa che mi sono sbagliato (in particolare ho sbagliato il conto eseguendo la divisione )

Sono arrivato ad una formula ricorsiva che però dubito possa aiutarmi nel trovare la soluzione. Comunque sia la scrivo lo stesso.

Comunque volevo dire che sono riuscito ad arrivare alla soluzione del problema.
Lascio qui la spiegazione per gli interessati

ma n doveva essere più piccolo di 1000 se non sbaglio.

Grazie per avermi fatto notare l'errore nel testo iniziale, avevo messo uno [math]0 in meno
[math]n deve essere minore di [math]10000

ah ecco

ah lol allora ok

Dite che non si riesce a fare anche con 1000? Secondo me si riesce a dire qualcosa partendo dalle idee della dimostrazione di quel teorema...

Stavo cercando qualcosa su quel teorema le uniche cose che mi sono comparse sono derrivate parziali, vettori e campi. Enon trovo nulla scritto da @Maionsss

Prova con il suo nome di strada "chicken mc nugget theorem" (sul serio).