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Sistema quadratico

Inviato: 24 mag 2018, 00:40
da Lasker
Trovare tutte le terne di reali $(x,y,z)$ che soddisfano
$$ xy+yz+xz=x^2-2y^2=2y^2-3z^2=1 $$

Re: Sistema quadratico

Inviato: 26 set 2018, 14:13
da spugna
Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)...

Testo nascosto:
Esistono sicuramente $\alpha,\beta \in (0,\pi)$ tali che $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$, e i valori opposti corrispondono a $\pi-\alpha$ e $\pi-\beta$, quindi possiamo supporre $\alpha+\beta<\pi$ (non può essere un'uguaglianza perché seguirebbe $x=-y$, e sostituendo nella prima equazione $x^2=-1$). Definiamo quindi $\gamma=\pi-\alpha-\beta$, e verifichiamo che $z=\cot(\gamma)$ risolve la prima equazione.
Abbiamo quindi $x=\cot(\alpha)$, $y=\cot(\beta)$ e $z=\cot(\gamma)$, e chiamiamo $a,b,c$ i lati di un qualsiasi triangolo avente questi tre angoli. Sostituendo nella seconda equazione troviamo:

$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$

dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".

Re: Sistema quadratico

Inviato: 02 ott 2018, 22:11
da Michael Pasquini
Non ho capito la cosa delle cotangenti, puoi spiegare?

Re: Sistema quadratico

Inviato: 12 ott 2018, 22:33
da spugna
Intendi la parte in cui dico che $\alpha,\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli di un triangolo?

Re: Sistema quadratico

Inviato: 13 ott 2018, 13:23
da Michael Pasquini
Si

Re: Sistema quadratico

Inviato: 13 ott 2018, 20:52
da spugna
Allora, si era posto $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$ con $\alpha,\beta \in (0,\pi)$, e si era visto che definendo $\gamma=\pi-\alpha-\beta \in (-\pi,\pi)$ segue $z=\cot(\gamma)$ (che esiste perché $\gamma \neq 0$, altrimenti seguirebbe $\alpha+\beta=\pi$ e quindi $x=-y$, che però rende impossibile la prima equazione). Ora, se $\gamma>0$ ho tre angoli positivi con somma $\pi$, che quindi sono gli angoli di un triangolo; se invece $\gamma<0$, cioè $\alpha+\beta>\pi$, sostituisco $(x,y,z)$ con $(-x,-y,-z)$, che è ancora una soluzione del sistema, e i nuovi angoli sono $\alpha'=\pi-\alpha$, $\beta'=\pi-\beta$ e $\gamma'=\pi-(\pi-\alpha)-(\pi-\beta)=\alpha+\beta-\pi$, che come prima sono tutti positivi e con somma $\pi$.

Re: Sistema quadratico

Inviato: 14 ott 2018, 21:04
da Michael Pasquini
Grazie mille, credo di aver capito

Re: Sistema quadratico

Inviato: 20 gen 2019, 17:00
da Stefano Romboni
Lasker ha scritto:
24 mag 2018, 00:40
Trovare tutte le terne di reali $(x,y,z)$ che soddisfano
$$ xy+yz+xz=x^2-2y^2=2y^2-3z^2=1 $$
Quale è la soluzione?

Re: Sistema quadratico

Inviato: 21 gen 2019, 22:00
da Stefano Romboni
spugna ha scritto:
26 set 2018, 14:13
Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)...

Testo nascosto:
Esistono sicuramente $\alpha,\beta \in (0,\pi)$ tali che $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$, e i valori opposti corrispondono a $\pi-\alpha$ e $\pi-\beta$, quindi possiamo supporre $\alpha+\beta<\pi$ (non può essere un'uguaglianza perché seguirebbe $x=-y$, e sostituendo nella prima equazione $x^2=-1$). Definiamo quindi $\gamma=\pi-\alpha-\beta$, e verifichiamo che $z=\cot(\gamma)$ risolve la prima equazione.
Abbiamo quindi $x=\cot(\alpha)$, $y=\cot(\beta)$ e $z=\cot(\gamma)$, e chiamiamo $a,b,c$ i lati di un qualsiasi triangolo avente questi tre angoli. Sostituendo nella seconda equazione troviamo:

$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$

dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".
Ciao, mi potresti dire da cosa hai dedotto che x,y,z erano le cotangenti di un triangolo ?

Re: Sistema quadratico

Inviato: 28 gen 2019, 16:10
da Lasker
è una tecnica standard quando nel testo di un problema di algebra (spesso disuguaglianze) vedi cose che rassomigliano ad identità trigonometriche notevoli vere nei triangoli. La più comune in assoluto (o meglio, praticamente l'unica che mi è capitato di usare in problemi olimpici) è "$x+y+z=xyz$ (positivi) suggerisce la sostituzione $x=\tan(\alpha)$ e cicliche", visto che in un triangolo vale $\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$ e se guardi è la stessa che utilizza spugna a meno di una sostituzione con i reciproci. Se ti chiedevi come può venire l'idea di seguire questa strada buffa, avendo già visto qualche problema risolvibile con questo approccio non è troppo innaturale.

Re: Sistema quadratico

Inviato: 29 gen 2019, 13:52
da Stefano Romboni
Lasker ha scritto:
28 gen 2019, 16:10
è una tecnica standard quando nel testo di un problema di algebra (spesso disuguaglianze) vedi cose che rassomigliano ad identità trigonometriche notevoli vere nei triangoli. La più comune in assoluto (o meglio, praticamente l'unica che mi è capitato di usare in problemi olimpici) è "$x+y+z=xyz$ (positivi) suggerisce la sostituzione $x=\tan(\alpha)$ e cicliche", visto che in un triangolo vale $\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$ e se guardi è la stessa che utilizza spugna a meno di una sostituzione con i reciproci. Se ti chiedevi come può venire l'idea di seguire questa strada buffa, avendo già visto qualche problema risolvibile con questo approccio non è troppo innaturale.
Grazie mile per la risposta.