OliForum Matematico

Buongiorno a tutti, scusate se sono un po' impacciato ma questo è il primo messaggio che invio su questo forum.
Volevo chiedere se qualcuno può spiegarmi il problema 17 dell' allenamento di oggi Urbi et Orbi.
Grazie in anticipo.

Per ipotesi esistono $r_1(x)$ e $r_2(x)$ tali che $p(x)-32=(x+1)^4r_1(x)$ e $p(x)+32=(x-1)^4r_2(x)$.
Considera $q(x)=p(x)+p(-x)$, che ha grado $\leq 7$ per ipotesi.
$$q(x)=[p(x)-32]+[p(-x)+32]=(x+1)^4r_1(x)+(-x-1)^4r_2(x)=(x+1)^4(r_1(x)+r_2(x))$$
$$q(x)=[p(x)+32]+[p(-x)-32]=(x-1)^4r_2(x)+(-x+1)^4r_1(x)=(x-1)^4(r_1(x)+r_2(x))$$
Ma allora $q$ è per forza il polinomio nullo e quindi $p(x)$ è dispari (e in particolare $p(0)=0$).

Abbiamo dunque che $p$ è un polinomio dispari, mettiamo $p(x)=ax^7+bx^5+cx^3+dx$ e $1$ è una radice quadrupla di $p(x)+32$, quindi $1$ deve essere una radice delle derivate prima, seconda, terza di $p(x)$; questo ci da un sistemino per i coefficienti
$$\begin{cases}
a+b+c+d=-32\\
7a+5b+3c+d=0\\
42a+20b+6c=0\\
210a+60b+6c=0
\end{cases}$$
Che ha soluzione $(10,-42,70,-70)$ quindi il polinomio è $p(x)=10x^7-42x^5+70x^3-70x$, sostituendo $2$ trovi $356$.

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Grazie mille per la tua spiegazione
Che p(x) fosse dispari ci ero arrivato anche io vedendo che p(1)= - p(-1). Poi però non sono stato in grado di impostare il sistema nei quattro coefficienti, anche perché faccio il secondo e non sapevo come collegare il fatto che 1 fosse una radice di molteplicità 4 con le derivate della funzione polinomiale. Ti ringrazio ancora, buona serata

Mhhh credo che si possano saltare le derivate in questo modo se non le conosci: dopo che si è dimostrato che $p$ è dispari, nota che $p(x)=(x+1)^4(ax^3+bx^2+cx+d)+32$ (perché?), sviluppa il prodotto e imponi che ogni coefficiente di grado pari sia $0$ (principio di identità dei polinomi!); se siamo fortunati viene di nuovo un sistema determinato in $4$ equazioni e $4$ incognite per $a,b,c,d$, magari prova a finire la dimostrazione in questo modo per vedere se si riesce per davvero!

Si, ha funzionato
Dopo aver sostituito R1(x) con un generico polinomio di terzo grado ( in quanto p(x) deve essere di settimo grado) ed eseguito i calcoli, applicando il principio di identità dei polinomi mi ritrovo un sistema facilmente risolvibile. Una volta trovati i coefficienti di R1(x) mi sono trovato I coefficienti di p(x) e, valutandolo in 2, sono arrivato alla soluzione.
Ancora una volta grazie