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Siano $ d_1,d_2 \dots d_n $ numeri reali positivi, con $ n\ge 2 $. Si trovi una condizione necessaria e sufficiente sui $ d_i $ perché esista una successione $ p_0,p_1 \dots p_n $ di punti sul piano euclideo tali che

1) per ogni $ i=1, \dots ,n $ la distanza tra $ p_{i-1} $ e $ p_i $ è uguale a $ d_i $

2)$ p_n =p_0 $

Nella foto un esempio di successione con $ n=5 $.

Questa strana successione è l'esercizio 3 di SNS 2017.
Nessuno che riesca o abbia voglia di farlo?

cavolo è davvero difficile!

Intanto direi che si può partire da questa considerazione:
[math]\sum\limits_{i=0}^n d_i\cos\alpha_i=0

Se qualcuno ha una risposta la dia, perché sono davvero curioso

Sai fare il caso n=3, per esempio?

Disuguaglianze triangolari?

Esatto! Ora passiamo a n=4. Sai identificare subito qualche caso che non funziona?

Sinceramente non lo so

Sinceramente non lo so

Pensa di nuovo a cosa succede con la disuguaglianza triangolare. Se per esempio $d_1$ fosse molto più grande degli altri tre?

In generale non funziona se c'è un $d_i$ tale che $d_i>\sum_{j\ne i}d_j$. Quindi la condizione "$\forall i\quad d_i\le \sum_{j\ne i}d_j$ è condizione necessaria. Infatti se per assurdo ci fosse un $d_i$ che non rispetta questa condizione, la spezzata formata da tutti gli altri $d_j$ uniti con un estremo su un estremo di $d_i$ dovrebbe stare tutta nel cerchio che ha per centro quell'estremo e per raggio $R=\sum_{j\ne i}d_j$, ma l'altro vertice sarebbe fuori da questo cerchio, e quindi sarebbe impossibile soddisfare la seconda condizione.

Questo è quello che ho scritto io alla prova (forse lo ho scritto meglio di come sta qua xD), ma non riuscii a dimostrare che è condizione sufficiente.

OK. Mi piace come l'hai scritto perché è un argomento che si "rovescia" facilmente. Se questa fosse l'unica condizione, allora ci rimane soltanto da provare che (supponendo WLOG $i=1$) si riesce a "raggiungere" tutti i punti in un cerchio di raggio $R=\sum_{j=2}^n d_j$ con una spezzata con lunghezze $d_2,\dots,d_n$.

fph ha scritto: ↑17 mar 2018, 10:28 OK. Mi piace come l'hai scritto perché è un argomento che si "rovescia" facilmente. Se questa fosse l'unica condizione, allora ci rimane soltanto da provare che (supponendo WLOG $i=1$) si riesce a "raggiungere" tutti i punti in un cerchio di raggio $R=\sum_{j=2}^n d_j$ con una spezzata con lunghezze $d_2,\dots,d_n$.

... ci rimane "soltanto" .... Ma non è così semplice questo "soltanto"

Beh, e in realtà non è neanche neppure del tutto vero, bisogna pensarci su ancora un attimo. Ma prova a semplificare il problema il più possibile. Quali punti del piano si riesce a raggiungere con una stecca lunga $d_2$ e una stecca lunga $d_3$?