Disuguaglianza con radici

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FedeX333X
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Disuguaglianza con radici

Messaggio da FedeX333X » 06 ott 2017, 21:48

Determinare la migliore costante reale $k$ tale che $$\frac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+1}}\geq k$$ per ogni terna $(x,y,z)$ di reali positivi con $x+y+z=3$.

Ilgatto
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Re: Disuguaglianza con radici

Messaggio da Ilgatto » 30 ott 2017, 20:58

Testo nascosto:
Inizio riscrivendo la disequazione come:
$$\frac {x}{3}*\frac {3}{\sqrt{y^2+1}} + \frac {y}{3}*\frac {3}{\sqrt{z^2+1}} + \frac {z}{3}*\frac {3}{\sqrt{x^2+1}} \ge k$$
Applico la disuguaglianza di Jensen alla funzione $ f(x) = \frac {3}{\sqrt{x^2+1}} $ ricordando che $ \frac {x+y+z}{3} = 1 $ e che la funzione è convessa, essendo l'argomento positivo per ipotesi. Moltiplicando inoltre entrambi i membri per $3$ ottengo:
$$x*f(y)+y*f(z)+z*f(x) \ge 3*f(\frac{xy+yz+zx}{3}) = 3*\frac {3}{\sqrt{\frac{(xy+yz+zx)^2}{9}+1}}= 3k$$
Da cui:
$$k=\frac {9}{\sqrt{(xy+yz+zx)^2+9}}$$
Dalla disequazione scritta sopra si ricava che $k$ è il valore cercato quando si ha $f(\frac {xy+yz+zx}{3})$ minimo, cioè quando $xy+yz+zx$ è massimo essendo a denominatore.
Ricordando il vincolo, si può scrivere:
$$9=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2*(xy+yz+zx)$$
Da cui si ricava che, sapendo $x^2+y^2+z^2 \ge 3$ (dimostrata in seguito), il valore massimo di $xy+yz+zx$ è $\frac {9-3}{2}=3$. Quindi si ricava:
$$k = \frac {9}{\sqrt{3^2+9}}= \frac {3\sqrt {2}}{2}$$


Da $x+y+z=3$ ricavo $x^2+y^2+z^2 \ge 3$ perchè per prima cosa noto che ho l'uguaglianza ponendo $x=y=z=1$, si riscrive la disequazione come $\sqrt {\frac {x^2+y^2+z^2}{3}} \ge \frac {x+y+z}{3}=1$ che si ricava sapendo che la media quadratica è maggiore o uguale a quella aritmetica e si ottiene la disuguaglianza cercata.

FedeX333X
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Re: Disuguaglianza con radici

Messaggio da FedeX333X » 03 nov 2017, 08:04

Ilgatto ha scritto:
30 ott 2017, 20:58
Testo nascosto:
Applico la disuguaglianza di Jensen alla funzione $ f(x) = \frac {3}{\sqrt{x^2+1}} $ ricordando che $ \frac {x+y+z}{3} = 1 $ e che la funzione è convessa, essendo l'argomento positivo per ipotesi.
Sicuro che quella funzione sia davvero convessa in tutto $\mathbb{R}^{+}$?

Ilgatto
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Re: Disuguaglianza con radici

Messaggio da Ilgatto » 03 nov 2017, 21:13

Hai ragione, dovevo controllare meglio.
Comunque:
Applico la disuguaglianza di Jensen alla funzione convessa $f(x)= \frac {3}{\sqrt {x}}$ ottenendo:
$$xf(y^2+1)+yf(z^2+1)+zf(x^2+1) \ge 3f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+x+y+z}{3}\right)=3k$$
Da cui:
$$k=f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+3}{3}\right)$$
Per trovare $k$ massimo, devo minimizzare $\frac{x^2z+y^2x+z^2y+3}{3}$. Inizio notando che:
$$\frac {x^2z+y^2x+z^2y}{3} \ge \left(\frac {xz+yx+zy}{3}\right)^2$$
Che deriva dall'applicazione della disuguaglianza di Jensen alla funzione $g(x)=x^2$ e dal vincolo.
Come avevo dimostrato nel mio precedente messaggio, il valore massimo di $xz+yx+zy$ è $3$. Ne ricavo che:
$$x^2z+y^2x+z^2y \ge 3$$
Quindi il minimo è $3$; sostituisco e ottengo $k=\frac {3\sqrt{2}}{2}$

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