Quando non si riesce a dormire...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Talete
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Quando non si riesce a dormire...

Messaggio da Talete » 02 ott 2017, 02:33

...si inventano disuguaglianze! Quindi è OWN. Siano $a$, $b$, $c$ reali positivi tali che $ab+bc+ca=3$. Trovare la più grande costante $k$ tale che
\[\frac1{\sqrt{a^2+3}}+\frac1{\sqrt{b^2+3}}+\frac1{\sqrt{c^2+3}}\ge \frac k{a+b+c}.\]
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Davide Di Vora
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Re: Quando non si riesce a dormire...

Messaggio da Davide Di Vora » 08 ott 2017, 19:37

Dimostro che il massimo è $k=\frac{9}{2}$ che si può ottenere ponendo $a=b=c=1$
Applico ora la disuguaglianza di Jensen sulla funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$$f(a^2+3)+f(b^2+3)+f(c^2+3)\ge 3f(\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3})$$
Mi basta quindi dimostrare
$$\frac{3}{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3}}}\ge \frac{9}{3(a+b+c)}$$
Elevando al quadrato ed elliminando i denominatori ottengo
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2+9)$$
Sfruttando il vincolo posso riscriverla come
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2)+9(ab+bc+ca)$$
Ovvero
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$
che è ovviamente vera.

scambret
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Re: Quando non si riesce a dormire...

Messaggio da scambret » 08 ott 2017, 21:43

Alternativa più sempliciotta
Testo nascosto:
Con il vincolo e chiamando $x^2=a+b$ e cicliche si ottiene

$$\frac{x+y+z}{xyz} \geq 9 \frac{1}{x^2+y^2+z^2}$$

Ovvero $$(x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \geq 9xyz$$

Che è vera per tutti i motivi del mondo
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Aeroporto di Atene, 8 maggio 2015! Ancora nel cuore ITA4

Talete
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Re: Quando non si riesce a dormire...

Messaggio da Talete » 22 ott 2017, 17:21

Io l'avevo fatta con AM-GM sul denominatore: \[\sqrt{a^2+3}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\le\frac{2a+b+c}2\] e poi Titu per concludere
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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chemboy
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Re: Quando non si riesce a dormire...

Messaggio da chemboy » 27 ott 2017, 15:31

Io trovo che K è 3*radice quadrata di 3, e non 9/2

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