...si inventano disuguaglianze! Quindi è OWN. Siano $a$, $b$, $c$ reali positivi tali che $ab+bc+ca=3$. Trovare la più grande costante $k$ tale che
\[\frac1{\sqrt{a^2+3}}+\frac1{\sqrt{b^2+3}}+\frac1{\sqrt{c^2+3}}\ge \frac k{a+b+c}.\]
Quando non si riesce a dormire...
Quando non si riesce a dormire...
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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- Iscritto il: 25 mag 2016, 22:14
Re: Quando non si riesce a dormire...
Dimostro che il massimo è $k=\frac{9}{2}$ che si può ottenere ponendo $a=b=c=1$
Applico ora la disuguaglianza di Jensen sulla funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$$f(a^2+3)+f(b^2+3)+f(c^2+3)\ge 3f(\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3})$$
Mi basta quindi dimostrare
$$\frac{3}{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3}}}\ge \frac{9}{3(a+b+c)}$$
Elevando al quadrato ed elliminando i denominatori ottengo
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2+9)$$
Sfruttando il vincolo posso riscriverla come
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2)+9(ab+bc+ca)$$
Ovvero
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$
che è ovviamente vera.
Applico ora la disuguaglianza di Jensen sulla funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$$f(a^2+3)+f(b^2+3)+f(c^2+3)\ge 3f(\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3})$$
Mi basta quindi dimostrare
$$\frac{3}{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3}}}\ge \frac{9}{3(a+b+c)}$$
Elevando al quadrato ed elliminando i denominatori ottengo
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2+9)$$
Sfruttando il vincolo posso riscriverla come
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2)+9(ab+bc+ca)$$
Ovvero
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$
che è ovviamente vera.
Re: Quando non si riesce a dormire...
Alternativa più sempliciotta
Testo nascosto:
"Volevo er milkshake, lo bbevo ogni morte dde papa"
"M anno buttato la crema solare, era de mi mamma"
"Me vie na congestione"
Panini che viaggiano molto velocemente verso la faccia di un tizio che risponde "I'm not hungry"
Aeroporto di Atene, 8 maggio 2015! Ancora nel cuore ITA4
"M anno buttato la crema solare, era de mi mamma"
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Panini che viaggiano molto velocemente verso la faccia di un tizio che risponde "I'm not hungry"
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Re: Quando non si riesce a dormire...
Io l'avevo fatta con AM-GM sul denominatore: \[\sqrt{a^2+3}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\le\frac{2a+b+c}2\] e poi Titu per concludere
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Re: Quando non si riesce a dormire...
Io trovo che K è 3*radice quadrata di 3, e non 9/2