Algebra learning

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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scambret
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Algebra learning

Messaggio da scambret » 27 set 2017, 12:03

Ciao a tutti,
Dopo le IMO 2015 avevamo pensato a qualcosa stile staffetta che potesse servire come da stimolo per fare una marea di esercizi e, ogni tanto, imparare tecniche nuove. Con immenso ritardo, propongo quindi un appuntamento settimanale dedicata a una sola "tecnica" o "idea".
Fatemi sapere se vi interessa e/o se avete altre idee.
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scambret
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Re: Algebra learning

Messaggio da scambret » 27 set 2017, 12:18

1.1. $a,b,c>0$. Dimostrare che

$$abc(a+b+c) \leq 3/16 \cdot \left(\prod_{cyc} (a+b)\right)^{4/3}$$

1.2. $a,b,c>0, abc=1$. Dimostrare che

$$\prod_{cyc} (a+b) \geq 4(a+b+c-1)$$

1.3. $a,b,c>0$. Dimostrare che

$$\sqrt{\left(\sum_{cyc} a^2b\right) \cdot \left(\sum_{cyc} ab^2 \right)} \geq abc+\sqrt[3]{\prod_{cyc} (a^3+abc)}$$
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nuoveolimpiadi1999
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Re: Algebra learning

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 27 set 2017, 22:58

Io penso sia una bella idea scambret, piú materiale e piú allenamento possibile sono sempre una cosa positiva.
Mi chiedo solo una cosa, dopo aver proposto i problemi pubblicherete delle soluzioni ufficiali? (spero di si perchè per confrontare i metodi di risoluzione oppure per capire perchè un certo esercizio non ci riesce sono utili). :)

scambret
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Re: Algebra learning

Messaggio da scambret » 28 set 2017, 15:55

Sicuramente un hint lo darò, ma soluzioni complete diventa difficile.
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Talete
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Re: Algebra learning

Messaggio da Talete » 28 set 2017, 16:37

Interessante questo progetto di geometria :D

Risolvo il primo
Testo nascosto:
Fissata una circonferenza $\Omega$ di raggio $R$, come posso scegliere tre punti $A$, $B$ e $C$ su $\Omega$ di modo che l'area del triangolo $ABC$ sia la massima possibile? Se fisso $A$ e $B$, il massimo è quando $C$ sta sull'asse di $AB$, e così ciclicamente. Quindi il massimo possibile è quando $ABC$ è equilatero. L'area del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio $R$ è
\[\frac{3\sqrt3}4\cdot R^2.\]
Dunque per un qualsiasi triangolo $ABC$, detta $S$ la sua area e $R$ il raggio della sua circonferenza circoscritta, si ha
\[S\le \frac{3\sqrt3}4\cdot R^2.\]
Eleviamo il tutto al quadrato e moltiplichiamo per $16$: si ottiene
\[16\cdot S^2\le 27\cdot R^4.\]
Siano ora $x$, $y$ e $z$ i tre lati di $ABC$. È piuttosto noto che
\[xyz=4RS,\]
e dunque in particolare anche
\[258\cdot S^4=\frac{x^4y^4z^4}{R^4}.\]
Moltiplicando membro a membro questa con la disuguaglianza ottenuta prima, si ottiene
\[4096\cdot S^6\le 27\cdot x^4y^4z^4.\]
Dividendo per $4096$ ed estraendo la radice cubica, si ottiene
\[S^2\le \frac{3}{16}\cdot (xyz)^{4/3}.\]
Questa vale per ogni terna $x$, $y$, $z$ di reali positivi che sono i lati di un triangolo, quindi in particolare vale per $x=a+b$, $y=b+c$ e $z=c+a$. Ricordando che $S^2=abc(a+b+c)$, ho dimostrato la tesi.
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Re: Algebra learning

Messaggio da scambret » 04 ott 2017, 08:44

Hint sui problemi 1
Testo nascosto:
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
2.1. Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti reali tali che $P(x) \geq 0$ per ogni $x$ reale. Dimostrare che esistono dei polinomi $Q_1(x)$, ..., $Q_n(x)$ tali che per ogni $x$ vale

$$P(x) = \left[ Q_1(x) \right]^2+ \cdots + \left[ Q_n(x) \right]^2$$

2.2. Sia $P(x)$ un polinomio monico a coefficienti interi di grado pari tale che $P(n)$ è un quadrato perfetto per infiniti valori interi di $n$. Dimostrare che $P(x)$ è il quadrato di un polinomio a coefficienti interi.

2.3. Determinare tutti i polinomi $P(x)$ a coefficienti interi tali che, per ogni coppia $(a, b)$ di numeri interi positivi tali che $a + b$ è un quadrato perfetto, anche $P(a) + P(b)$ è un quadrato perfetto.
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Re: Algebra learning

Messaggio da scambret » 11 ott 2017, 12:17

Hint sui problemi 2
Testo nascosto:
2.1. Scriviamo $p$ con le sue radici, vediamo che il coefficiente di testa è positivo, facciamo che le radici reali devono avere molteplicità doppia e per quelle complesse, beh...

2.2. Facciamo vedere che se $P(x)=Q(x)^2+R(x)$, allora possiamo sistemare i coefficienti di $Q(x)$ con $n$ equazioni in $n$ incognite. Ora $R$ può davvero essere diverso da 0?
Ps Servono le ipotesi su $P(x)$ monico e con grado pari?

2.3. Usiamo il lemma di prima e scopriamo che $P(x^2-b)+P(b)=R(x)^2$. Già e ora?
3.1. Siano $x, y, z \geq 0$ tali che $x+y+z=1$. Dimostrare che

$$x^2y+ y^2z+ z^2x \leq \frac{4}{27}$$

3.2. Siano $x, y, z \geq 0$ tali che $xy+yz+zx=1$. Dimostrare che

$$\sum_{cyc} \frac{1}{\left( x+y \right)^2} \geq \frac{9}{4}$$

3.3. Siano $x, y, z$ reali non-negativi e distinti. Dimostrare che

$$\sum_{cyc} \frac{1}{\left( x-y \right)^2} \geq \frac{4}{xy+yz+zx}$$
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