Algebra learning

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
scambret
Messaggi: 668
Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
Località: Acquarica del Capo

Re: Algebra learning

Messaggio da scambret » 20 mag 2018, 12:17

Sono contento che tutti i problemi sono andati via! Penultima sessione dei problemi!

Hint sui problemi 17
Testo nascosto:
17.1. (IMOSL 2007 A3) L’idea è maggiorizzare la frazione con una potenza di $x$. Con $\displaystyle \frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}} < \frac{1}{x^{k}}$

17.2. (IMO 2009/5) Dimostrare che $f(1)=1$ altrimenti $f$ è periodica. Ora $f$ è biettiva e si dimostra per induzione che $f(n)=(n-1)f(2)-(n-2)$

17.3. (IMOSL 2011 A3) Con $P(x,0)$, $P(0,x)$ si ottiene $g$ in funzione di $f$. Con $P(x+y,0)$ si ottiene $f(x+y)$ in funzione di $f(y)$. Da qui si pone $y=c$.
18.1. Sia $n \geq 3$ un intero e $a_2, a_3, \cdots a_n$ reali positivi tali che $a_2 a_3 \cdots a_n =1$. Dimostrare che

$$(1+a_2)^2(1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n > n^n$$

18.2. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tali che per ogni $x, y \in \mathbb{R}^+$ vale

$$f(x+f(y)) = f(x+y)+f(y)$$

18.3. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ tali che per ogni $x, y \in \mathbb{Q}^+$ vale

$$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)$$

TheRoS
Messaggi: 16
Iscritto il: 25 feb 2018, 13:05

Re: Algebra learning

Messaggio da TheRoS » 23 mag 2018, 20:53

Provo il 18.1
Per ogni $i$ appartenente a $(2,\dots,n)$ compiamo il seguente ragionamento.
\begin{equation}
a_i+1=a_i+\frac{1}{i-1}+\dots+\frac{1}{i-1}
\end{equation}
Dove $\frac{1}{i-1}$ compare $i-1$ volte. Applichiamo ora $AM-GM$ su questi $i$ termini attendo che:
\begin{equation}
\frac{a_i+1}{i}\geq(\frac{a_i}{(i-1)^{i-1}})^{1/i}\iff (a_i+1)^i\geq\frac{i^i\cdot a_i}{(i-1)^{i-1}}
\end{equation}
Grazie a questa osservazione possiamo scrivere che:
\begin{equation}
(a_2+1)^2\cdot\dots\cdot(a_n+1)^n\geq \frac{4a_2}{1}\cdot\dots\cdot\frac{i^i\cdot a_i}{(i-1)^{i-1}}\cdot\dots\cdot\frac{n^n\cdot a_n}{(n-1)^{n-1}}=n^n
\end{equation}

scambret
Messaggi: 668
Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
Località: Acquarica del Capo

Re: Algebra learning

Messaggio da scambret » 24 mag 2018, 07:36

Sei molto vicino per chiudere la soluzione!

TheRoS
Messaggi: 16
Iscritto il: 25 feb 2018, 13:05

Re: Algebra learning

Messaggio da TheRoS » 24 mag 2018, 10:20

Ah giusto, c'è da dimostrare che l'uguaglianza non va bene.
Si ha l'uguaglianza quando ogni $a_i=\frac{1}{i-1}$, ma se ciò fosse vero, il prodotto di questi viene minore di 1 e perciò si esclude.

Parmenide
Messaggi: 2
Iscritto il: 30 mag 2018, 21:24

Re: Algebra learning

Messaggio da Parmenide » 04 giu 2018, 00:22

Provo il 18.3:
Testo nascosto:
Dimostro che l'unica soluzione è $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}}$, che sostituendo verifica.
Sia $P(x;y)$ l'equazione funzionale del testo

Dimostro per prima cosa che $f$ è iniettiva:
da $P(x;1)$ si ottiene $f\left(f\left(x^2\right)\right)=x^3f\left(x\right)$

da cui, se $f(x)=f(y)$, si ha $\displaystyle{x^3=\frac{f\left(f\left(x^2\right)\right)}{f(x)}=\frac{f\left(f\left( y^2\right)\right)}{f(y)}=y^3 \Rightarrow x=y }$, quindi $f$ è iniettiva.


Dimostro ora che $f$ è moltiplicativa:
da $P(xy;1)$, $P(x;y)$, $P(y;f(x)^2)$ si ottiene $\displaystyle{f\left(f\left(xy\right)^2\right)=y^3x^3f\left(xy\right)=y^3f\left(f(x)^2y\right)=f\left(f(x)^2f(y)^2\right)}$
da cui, per l'iniettività, $f(xy)^2=f(x)^2f(y)^2 \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$, quindi $f$ è moltiplicativa


A questo punto chiaramente si ha che $f(1)=1$ e $f\left(x^n\right)=f\left(x\right)^n$

In questo modo posso riscrivere $P(x;y)$ come $f\left(f(x)\right)^2f(y)=x^3f(x)f(y) \Rightarrow f\left(f(x)\right)=\displaystyle{\sqrt{x^3f(x)}}$

Sia ora $g(x)=xf(x)$.
Si ha $g(g(x))=g(xf(x))=xf(x)f(xf(x))=xf\left(x^2f(x)\right)=xf\left(x^2\right)f\left(f(x)\right)=\displaystyle{xf(x)\sqrt{x^3f(x)}}=\left[xf(x)\right]^{\frac{5}{2}}=\left[g(x)\right]^{\frac{5}{2}}$

e per induzione $g$ composto se stesso $n+1$ volte è $\left[g(x)\right]^{\left(\frac{5}{2}\right)^n}$

A questo punto fissiamo $x$ nell'equazione $g \circ g\circ … \circ g=\left[g(x)\right]^{\left(\frac{5}{2}\right)^n}$ dove nel LHS la composizione è ripetuta $n+1$ volte.

Dimostro ora che $g(x)=1$:
LHS è sempre razionale per come sono definite $f,g$, quindi anche $\left[g(x)\right]^{\left(\frac{5}{2}\right)^n}$ deve essere sempre razionale.
Supponiamo per assurdo $g(x)\neq 1$ e sia la scomposizione in fattori primi di $g(x)=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}$ dove i $p_i$ sono primi distinti e gli $\alpha_i$ sono interi diversi da 0.
Allora la fattorizzazione di $g\circ g\circ …\circ g=p_1^{\left(\frac{5}{2}\right)^n \alpha_1}...p_k^{\left(\frac{5}{2}\right)^n \alpha_k}$
Quindi tutti gli esponenti dovrebbero essere sempre interi, ma ad esempio il primo esponente non lo è se $2^n \nmid \alpha_1$, contraddizione.

Allora $g(x)=1$, che porta a $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x}}$


scambret
Messaggi: 668
Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
Località: Acquarica del Capo

Re: Algebra learning

Messaggio da scambret » 10 giu 2018, 15:43

Ultima sessione di questo mini progetto. Un in bocca al lupo agli IMOisti di quest'annata e per gli altri, arrivederci!

Hint sui problemi 18
Testo nascosto:
18.1. (IMO 2012/2) Una AM-GM pesata per far uscire solo un $a_k$ e gli altri $k-1$ termini devono essere uguali e con somma 1.

Altrimenti si faceva anche con un’idea di analisi: “Trovare il più grande $m$ tale che $(1+x)^k \geq mx$”. Derivando si ottiene che $f’(x)=0$ per $\displaystyle x_0=\left(\frac{m}{k}\right)^{\frac{1}{k-1}}$. Ora però deve essere anche vero che $f(x_0)=0$ da cui $\displaystyle m=\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}$. Ora moltiplicando tutto viene.

18.2. (IMOSL 2007 A4) Quando avete $\mathbb{R}^+$, l’idea è fare delle sostituzioni vietate per dimostrare alcune caratteristiche di $f$. Qui si dimostra che $f(x)>x$, allora $g(x)=f(x)-x$ che sarà iniettiva e da qui bisogna dimostrare che è additiva e crescente.

18.3. (IMOSL 2010 A5) $f$ iniettiva. Per sfruttarla a pieno, dopo $P(x,1)$ vorrei qualcosa come $x^3f(x)$ e dunque pongo $P(x,f^2(y))$. Ora posso porre $g(x)=xf(x)$.
19.1. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tali che per ogni $x, y$ reali vale

$$f(f(x)f(y))+f(x+y) = f(xy)$$

19.2. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tali che per ogni $x, y$ reali vale

$$f(x+f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)$$

19.3. Sia $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R}$ una funzione che soddisfa le tre condizioni

a) Per ogni $x, y \in \mathbb{Q}^+$ vale $f(x)f(y) \geq f(xy)$
b) Per ogni $x, y \in \mathbb{Q}^+$ vale $f(x+y) \geq f(x)+f(y)$
c) Esiste un razionale $a>1$ tale che $f(a)=a$

Dimostrare che $f(x)=x$ per ogni $x \in \mathbb{Q}^+$

Rispondi