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Siano $x, y, z$ reali non negativi tali che $x+y+z=1$.
a) Mostrare che $0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \dfrac{7}{27}$.
b) Trovare massimo e minimo possibile per $xy+yz+zx-9xyz$.

Rilancio: trovare una formula in funzione di $a$ per il piú grande valore di $m(a)$ e il piú piccolo valore di $M(a)$ per cui si abbia, per ogni tre reali non negativi $x$, $y$ e $z$ tali che $x+y+z=1$,
\[m(a)\le xy+yz+zx-axyz\le M(a).\]

Intanto proverei dalla parte piú facile...
Allora dimostriamo la disuguaglianza di sinistra, ovvero che $xy+yz+zx-2xyz\ge 0$.
Essa è equivalente a $xy+yz+zx-3xyz\ge -xyz $
ovvero
$(xy-xyz)+(yz-xyz)+(zx-xyz)\ge -xyz $
e mettendo a fattor comune otteniamo
$xy(1-z)+yz(1-x)+zx(1-y)\ge -xyz$
e ricordando che $x+y+z=1$ otteniamo
$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(x+z)\ge-xyz$ e portando tutto
a $LHS$ avremo
$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(x+z)+xyz\ge 0$
che è sempre vera perchè al $LHS$ abbiamo una somma di quantità non negative ossia $\ge $ di $0$

Buona.

Spero molto vivamente di non aver sbagliato niente e che non ci siano typo.
a) Moltiplichiamo $xy+yz+zx$ per $x+y+z=1$, ottenendo $$3xyz+\sum_{sym}x^2y-2xyz=xyz+\sum_{sym}x^2y\ge 0$$ perché gli addendi sono tutti non negativi.
Moltiplicando $\frac {7}{27}$ per $1=(x+y+z)^3=\displaystyle \frac {1}{2}\sum_{sym}x^3+3\sum_{sym}x^2y+6xyz $ la seconda disuguaglianza diventa $$xyz+\sum_{sym}x^2y\leq\frac {7}{27} \left(\frac {1}{2}\sum_{sym}x^3+3\sum_{sym}x^2y+6xyz \right) $$ Moltiplicando tutto per $54$ la tesi diventa quindi $$54xyz+54\sum_{sym}x^2y\leq 7\sum_{sym}x^3+42\sum_{sym}x^2y+84xyz\iff 12\sum_{sym}x^2y\leq 7\sum_{sym}x^3+30xyz$$ Ma per Schur $\displaystyle 10\sum_{sym}x^2y\leq 5\sum_{sym}x^3+30xyz$ e per bunching $\displaystyle 2\sum_{sym}x^2y\leq 2\sum_{sym}x^3$, e sommando queste due otteniamo quindi la tesi.
b) Il minimo è uguale a $0$ e il massimo a $\frac{1}{4}$.
Parte 1: $$xy+yz+zx-9xyz\geq 0$$ Come prima moltiplichiamo $xy+yz+zx$ per $x+y+z$ ottenendo $$3xyz+\sum_{sym}x^2y-9xyz\geq 0\iff \sum_{sym}x^2y\geq 6xyz$$ Vera per bunching (o AM-GM). Poichè per $x=y=z=\frac{1}{3}$ abbiamo $xy+yz+zx-9xyz=3\frac{1}{9}-\frac{9}{27}=0$, $0$ è proprio il minimo.
Parte 2: $$xy+yz+zx-9xyz\leq \frac{1}{4}$$ Di nuovo, moltiplichiamo $xy+yz+zx$ per $x+y+z$ e $\frac{1}{4}$ per $(x+y+z)^3$, ottenendo $$3xyz+\sum_{sym}x^2y-9xyz\leq \frac{1}{4}\left(\frac {1}{2}\sum_{sym}x^3+3\sum_{sym}x^2y+6xyz\right)$$ Moltiplicando per $8$ abbiamo $$24xyz+8\sum_{sym}x^2y-72xyz\leq \sum_{sym}x^3+6\sum_{sym}x^2y+12xyz\iff 2\sum_{sym}x^2y\leq \sum_{sym}x^3+60xyz$$ Sommando $\displaystyle 2\sum_{sym}x^2y\leq \sum_{sym}x^3+6xyz$ vera per Schur e $0\leq 54xyz$ perchè $x,y,z\geq 0$ otteniamo la tesi. Poichè per $x=y=\frac{1}{2},z=0$ otteniamo $xy+yz+zx-9xyz=\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$ è proprio il massimo.

Ok, tutto giusto!