Massimi e minimi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gerald Lambeau
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Massimi e minimi

Messaggio da Gerald Lambeau » 13 set 2017, 15:33

Siano $x, y, z$ reali non negativi tali che $x+y+z=1$.
a) Mostrare che $0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \dfrac{7}{27}$.
b) Trovare massimo e minimo possibile per $xy+yz+zx-9xyz$.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

Talete
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Re: Massimi e minimi

Messaggio da Talete » 15 set 2017, 13:55

Rilancio: trovare una formula in funzione di $a$ per il piú grande valore di $m(a)$ e il piú piccolo valore di $M(a)$ per cui si abbia, per ogni tre reali non negativi $x$, $y$ e $z$ tali che $x+y+z=1$,
\[m(a)\le xy+yz+zx-axyz\le M(a).\]
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nuoveolimpiadi1999
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Re: Massimi e minimi

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 16 set 2017, 11:05

Intanto proverei dalla parte piú facile...
Allora dimostriamo la disuguaglianza di sinistra, ovvero che $xy+yz+zx-2xyz\ge 0$.
Essa è equivalente a $xy+yz+zx-3xyz\ge -xyz $
ovvero
$(xy-xyz)+(yz-xyz)+(zx-xyz)\ge -xyz $
e mettendo a fattor comune otteniamo
$xy(1-z)+yz(1-x)+zx(1-y)\ge -xyz$
e ricordando che $x+y+z=1$ otteniamo
$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(x+z)\ge-xyz$ e portando tutto
a $LHS$ avremo
$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(x+z)+xyz\ge 0$
che è sempre vera perchè al $LHS$ abbiamo una somma di quantità non negative ossia $\ge $ di $0$

Gerald Lambeau
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Re: Massimi e minimi

Messaggio da Gerald Lambeau » 17 set 2017, 10:26

Buona.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
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