Funzionale da TI

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Salvador
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Funzionale da TI

Messaggio da Salvador » 11 set 2017, 17:38

Determinare tutte le funzioni $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tali che:
$$f(xy+f(x))=x f(y+k)$$
per ogni $x,y \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{R^+}$.

gup
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Re: Funzionale da TI

Messaggio da gup » 01 feb 2018, 22:23

Ci provo. Fisso $ $$y=0$$. $ L'espressione diventa allora$ $$f(f(x))=xf(k)$$. $ Quindi $f$ è bigettiva.$
$ In particolare, ponendo $ x=y=0 $ si ottiene$ f(f(0))=0 \Rightarrow f(0)=0.$ A questo punto ponendo $y=-k$ si ottiene $f(-kx+f(x))=xf(0)=0$ da cui segue per la bigettività di $f$ che $$-kx+f(x)=0$$ ovvero $f(x)=kx $

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Sirio
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Re: Funzionale da TI

Messaggio da Sirio » 02 feb 2018, 17:17

Quando dici che $f$ è bigettiva non consideri il caso $f(k)=0$... E poi non ho capito il passaggio $f(f(0))=0\Rightarrow f(0)=0$
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
"Sirio Passirio" cit. Nicola S.

Ilgatto
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Re: Funzionale da TI

Messaggio da Ilgatto » 02 feb 2018, 22:12

Ponendo $y=0$ ottengo $f(f(x))=xf(k)$. Ora, fissando $x$ è ovvio che il LHS non varia, dunque neanche il RHS e in particolare $f(k)$ è costante. Però se chiamo $f(k)=a$ con $k>0$, ottengo nell'espressione iniziale $f(a)=xa$ quando $y=0$ e $x>0$, dunque $a=0$e $f(a)=0$.
Ponendo $x=1$ ottengo $f(y+f(1))=f(y)=f(y+k)$. Dunque se $y<0$ e $k \ge -y$ ottengo che $f(y)=0$ anche per valori minori o uguali a $0$
La funzione è quindi sempre nulla.

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