Disuguaglianza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Ventu06
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Re: Disuguaglianza

Messaggio da Ventu06 » 21 ago 2017, 00:21

Testo nascosto:

Possiamo riscrivere l'espressione come
$\sqrt[3]{1+(x-y)}+\sqrt[3]{1+4(y-z)}+\sqrt[3]{1+9(z-x)} = \sqrt[3]{1+(x-y)}+2\sqrt[3]{\frac{1}{8}+\frac{1}{2}(y-z)}+3\sqrt[3]{\frac{1}{27}+\frac{1}{3}(z-x)}$

Sappiamo $\sqrt[3]{x}$ è una funzione concava per $x \ge 0$, e i sei termini sono tutti maggiori o uguali a $0$, quindi possiamo applicare la disuguaglianza di Jensen:

$\sqrt[3]{1+(x-y)}+2\sqrt[3]{\frac{1}{8}+\frac{1}{2}(y-z)}+3\sqrt[3]{\frac{1}{27}+\frac{1}{3}(z-x)} \le
6\sqrt[3]{\frac{1}{6}((1+(x-y)) + 2(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}(y-z)) + 3(\frac{1}{27}+\frac{1}{3}(z-x)) )} =
\sqrt[3]{49}$

In particolare abbiamo l'uguaglianza, cioè il massimo che stiamo cercando, quando

$\sqrt[3]{1+(x-y)}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}+\frac{1}{2}(y-z)}=\sqrt[3]{\frac{1}{27}+\frac{1}{3}(z-x)}$

cioè quando $y=x+\frac{167}{216}$ e $z=x+\frac{41}{72}$ al variare di $x$ nei reali.

Non sarebbe male provare che nei valori dell'uguaglianza le tre radici sono sempre positive, come richiesto dalle ipotesi

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