Domanda su gara a squadre

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Vinci
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Domanda su gara a squadre

Messaggio da Vinci » 20 ago 2017, 08:46

“La peste del 1347 ha davvero ucciso moltissime persone”, osservò uno dei pellegrini. "Ne ho studiato attentamente
la diffusione e ho scoperto che se chiamiamo $a_n$ le persone infette al giorno $n$ dall’inizio dell’epidemia, vale $$a_n =
a_{n−1} + 9a_{n−2} + 9^2a_{n−3} +···+ 9^{n−1}a_0$$ per $n \ge 1$. Sapendo che $a_0 = 2017$, quante cifre ha il numero di persone infette al
giorno $2017$?" Ho fatto il problema ma non mi trovo e vorrei capire perchè, la mia soluzione è:
Testo nascosto:
Ho che $$a_{n+1}=a_n+...+9^na_0 \\ 9a_n=9a_{n-1}+...+9^na_0$$ e sottraendo la seconda dalla prima si ottiene $$a_{n+1}=10a_n$$ da cui $a_n=10^na_0$ e quindi $a_{2017}=10^{2017}\cdot 2017$ le cui cifre sono $2017$ e altri $2017$ zeri, e quindi $2021$. Non riesco a capire dove sbaglio, la risposta è $2020$.

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Sirio
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Re: Domanda su gara a squadre

Messaggio da Sirio » 20 ago 2017, 09:12

Forse perché il numero di infetti nel giorno $2017$ è $a_{2016}$, visto che quello di infetti nel primo giorno è $a_0$... È l'unica spiegazione che riesco a darmi, io avrei fatto esattamente come te
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

Vinci
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Re: Domanda su gara a squadre

Messaggio da Vinci » 20 ago 2017, 09:25

Si, penso che tu abbia ragione

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Drago96
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Re: Domanda su gara a squadre

Messaggio da Drago96 » 27 ago 2017, 21:48

Effettivamente gli indici che partono da $0$ creano sempre problemi...
Tuttavia direi che l'espressione "chiamiamo $a_n$ il numero di infetti al giorno $n$" lascia poca ambiguità quando si chiede "gli infetti al giorno $2017$"; $a_0$ consideratelo come un dato iniziale, prima che la peste inizi a diffondersi
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Re: Domanda su gara a squadre

Messaggio da Federico II » 27 ago 2017, 23:14

Il problema è che la tua soluzione funziona solo per $n\geq1$, mentre invece dalla formula iniziale vale $a_1=a_0$. Quindi
Testo nascosto:
$a_n=10^{n-1}\cdot2017$ per ogni $n\geq1$ e in particolare $a_{2017}=10^{2016}\cdot2017$.
Il responsabile della sala seminari

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