Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi. Supponiamo che per tre interi distinti $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}$ si abbia $P(\alpha)=P(\beta)=P(\gamma)=-5$ e che $P(1)=6$. Qual è il massimo valore possibile per $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$?
Source: simulazione gara a squadre (non ricordo l'anno)
Right! Come lo hai risolto (se non hai fatto troppi tentativi)? C'è una soluzione abbastanza bella
Re: Massimo di un polinomio
Inviato: 20 ago 2017, 17:25
da Vinci
Posto la mia
Testo nascosto:
Abbiamo che $$p(x)+5=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)q(x)$$ per qualche polinomio $q(x)$ a coefficienti interi, e di conseguenza $$11=6+5=p(1)+5=(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)q(1)$$ dove tutti i fattori sono interi, e quindi possono essere scelti solo nell'insieme dei divisori di $11$ ed il loro prodotto deve essere $11$. Per massimizzare i valori assoluti di $\alpha,\beta$ e $\gamma$, che devono essere distinti, la scelta migliore è $(1+\alpha)=-11$, $(1-\beta)=-1$ e $(1-\gamma)=1$ (e simmetriche, il problema è simmetrico in $\alpha,\beta$ e $\gamma$) che ci dà $\alpha=12$, $\beta=2$ e $\gamma=0$ e simmetriche,
da cui la somma cercata è $144+4+0=148$. Infine facciamo vedere che esiste un polinomio con queste proprietà: basta porre $q(x)=x$ e si ottiene $p(x)=x^2(x-12)(x-2)-5$, che soddisfa tutte le ipotesi.
