Disuguaglianza facile

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Bik
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Disuguaglianza facile

Messaggio da Bik » 02 ago 2017, 23:31

Trovare la migliore costante $C$ tale che $$x+8y+4z \geq C$$
per ogni $x,y,z \in \mathbb{R}$ e $4x^{-1} +2y^{-1} +z=3$.

Potreste darmi un hint? Ho provato a usare AM-HM spezzandola ma non mi viene nulla (più che altro perché la z non è al denominatore!)

EDIT: con $x,y,z > 0$
Ultima modifica di Bik il 03 ago 2017, 10:08, modificato 1 volta in totale.

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Lasker
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Lasker » 02 ago 2017, 23:58

Sì, la $z$ si comporta in modo diverso da come vorresti, per questo ti suggerisco di provare ad ignorarla per il momento e stimare solo la parte con $x$ e $y$ (magari scrivendo poi questa stima in funzione del solo $z$ grazie al vincolo). Io in particolare l'ho approcciato con un procedimento del tipo $x+8y+4z\geq f(z)$ (con disuguaglianze standard, ad esempio puoi farlo conla sola AM-HM di cui parlavi, se scegli con attenzione i termini) dove si può ancora raggiungere l'uguaglianza e ho poi notato che $f(z)$ è monotona (se trovi la stessa mia vedrai che è una funzione "notevole" da liceo e quindi sai già com'è fatta dalla teoria di scuola) nell'intervallo interessato. Se non ho sbagliato la costante $C$ è
Testo nascosto:
$12$
Quando hai trovato, posta pure la tua soluzione :) Se invece non mi sono spiegato bene dimmelo che non ho problemi ad aggiungere altri dettagli


PS: mi sa che hai dimenticato di scrivere l'ipotesi che $x,y,z\geq 0$
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Bik » 03 ago 2017, 10:07

Lasker ha scritto:
02 ago 2017, 23:58
Io in particolare l'ho approcciato con un procedimento del tipo $x+8y+4z\geq f(z)$ (con disuguaglianze standard, ad esempio puoi farlo conla sola AM-HM di cui parlavi, se scegli con attenzione i termini)
Che disuguaglianza standard usi? Perché ho provato un po' con tutte ma non ne cavo fuori nulla :(

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Lasker
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Lasker » 03 ago 2017, 10:36

Puoi farcela usando solo AM-HM (usato una volta sola), anche se per me il modo più naturale di vederlo è stato cauchy-schwarz (nella variante del lemma di titu). Oppure vorresti sapere i termini su cui faccio AM-HM e quindi non ho risposto alla domanda? In caso sono questi, ma ti consiglierei di provare a capire senza leggere quali sono
Testo nascosto:
AM-HM su $(x/2,x/2, 2y, 2y, 2y, 2y )$
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Bik » 03 ago 2017, 17:27

Anch'io l'ho usata su quei termini, solo che mi ritrovo ad un punto cieco, $x +8y +4z \geq \frac{49 \cdot 4z}{-4z^2 +12z+1}$ e mi blocco.

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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Gerald Lambeau » 03 ago 2017, 18:02

Bik ha scritto:
03 ago 2017, 17:27
Anch'io l'ho usata su quei termini, solo che mi ritrovo ad un punto cieco, $x +8y +4z \geq \frac{49 \cdot 4z}{-4z^2 +12z+1}$ e mi blocco.
Sicuro di aver fatto AM-HM con quei termini e non ci hai aggiunto per caso $4z$?
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Lasker » 03 ago 2017, 18:13

A me $f(z)$ viene del tutto diversa :? mi sa che hai fatto l'errore che dice Gerald (insomma il $4z$ dovresti lasciare fuori dalle disuguaglianze varie, tanto sommare una retta in $z$ non complica poi così tanto un'espressione)
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Bik » 03 ago 2017, 18:20

Si l'ho aggiunto. Ho provato prima senza ma mi risulta $x+8y+4z \geq \frac{36}{3-z} +4z$

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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Gerald Lambeau » 03 ago 2017, 18:21

Bik ha scritto:
03 ago 2017, 18:20
Si l'ho aggiunto. Ho provato prima senza ma mi risulta $x+8y+4z \geq \frac{36}{3-z} +4z$
Che direi è quello che è uscito a Lasker, dato che con quello si può concludere.
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Lasker » 03 ago 2017, 18:26

Si è lui! Ora guardalo un attimo e dicci perché si può concludere :)
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da Bik » 03 ago 2017, 18:32

Ahhh! Dato che è una funzione sempre crescente ha un minimo per $z=0$, quindi $C=12$. Grazie!

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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da matpro98 » 03 ago 2017, 23:02

Ma $x,y,z>0$, quindi cos'altro si può dire?

FedeX333X
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Re: Disuguaglianza facile

Messaggio da FedeX333X » 08 ago 2017, 15:07

Che per $z \to 0$, $\frac{36}{3-z} + 4z \to 12$, quindi la costante è comunque $12$. In questo modo salta l'uguaglianza, però.

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