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Sia $P(x)$ un polinomio monico a coefficienti interi e tale che esistono quattro interi distinti $a,b,c$ e $d$ tali che $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=7$. Dimostrare che non esiste nessun $k$ intero tale che $P(k)=12$.

[math]P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)q(x)+7 per Hp, con [math]q(x) polinomio a coefficienti interi. Ponendo [math]P(k)=12 risulterebbe [math](k-a)(k-b)(k-c)(k-d)q(k)=5, dove in ogni parentesi è presente un intero distinto (essendo tali a,b,c,d). Ma 5 è scrivibile al più come prodotto di 3 interi distinti (1,-1,-5), quindi non può darsi [math]P(k)=5 ([math]q(k) è ininfluente in quanto intero).

Giusta