Somma di aree

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Buraka
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Somma di aree

Messaggio da Buraka » 29 giu 2017, 12:08

Propongo questo problema, a sua volta proposto dal prof. Callegari:
Calcolare la somma delle aree di tutti i diversi rettangoli che hanno perimetro di 400 cm ed aventi i lati che, in centimetri, hanno misura intera.

Vinci
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Re: Somma di aree

Messaggio da Vinci » 29 giu 2017, 12:48

Testo nascosto:
Se chiamiamo $a$ e $b$ i lati di un rettangolo avremo $2(a+b)=400cm \Rightarrow a+b=200cm$ e la sua area vale $ab$. Dobbiamo sommare tutte le possibili aree con $a$ e $b$ interi (in $cm$). Dobbiamo calcolare quindi $$\sum_{i=1}^{100}i(200-i)=\sum_{i=1}^{100}(200i-i^2)=200\sum_{i=1}^{100}i-\sum_{i=1}^{100}i^2=200 \cdot \frac{100\cdot 101}{2}-\frac{100\cdot 101\cdot 201}{6}=671650cm^2$$

Buraka
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Re: Somma di aree

Messaggio da Buraka » 29 giu 2017, 13:22

Perché da 1 a 100?

Vinci
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Re: Somma di aree

Messaggio da Vinci » 29 giu 2017, 14:58

Per non contare due volte ciascun rettangolo eccetto quello di lati $100$ e $100$, cioè, il rettangolo di lati $a$ e $b$ è uguale al rettangolo di lati $b$ ed $a$, non posso contarlo due volte. Per fare un esempio numerico, il rettangolo di lati $3$ e $197$ ed il rettangolo di lati $197$ e $3$ sono lo stesso, se faccio la sommatoria fino a $200$ conto la sua area due volte
.

Buraka
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Re: Somma di aree

Messaggio da Buraka » 29 giu 2017, 16:17

Giusto, scusami non ci avevo pensato! Grazie :D

Buraka
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Re: Somma di aree

Messaggio da Buraka » 29 giu 2017, 19:36

In effetti dopo una diofantea banale ero arrivato alla conclusione

\[
\sum_{k=1}^{200} (200-k)(0+k)
\]

e non tornavano i conti :roll:

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