Problema sulla dimostrazione per induzione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
AntVenom
Messaggi: 4
Iscritto il: 28 giu 2017, 10:33

Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da AntVenom »

Dimostra che la somma dei primi n quadrati è n(n +1)(2n +1)/6 per induzione.
Scusate so che è molto basilare ma preferire chiarire.
fph
Site Admin
Messaggi: 3956
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da fph »

Cosa hai provato a fare? Dove ti sei bloccato?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
AntVenom
Messaggi: 4
Iscritto il: 28 giu 2017, 10:33

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da AntVenom »

Ho visto che la propietà funziona quando sostituisco a n il valore di 1.
Allora ho sostituito "n" con "n+1".
E ho ottenuto [(n+1)(n+2)(2n+3)/6].
Adesso non riesco a uguagliare ciò che ottenuto con quella di partenza che ha solo "n".
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da Talete »

Devi dimostrare che
\[\frac{n(n+1)(2n+1)}6 + (n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6,\]
giusto? Se aggiungi alla somma dei primi $n$ quadrati il numero $(n+1)^2$, ottieni la somma dei primi $n+1$ quadrati, che tu vuoi sia quella roba a destra. Sei d'accordo? Da qui sono solo conti.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
AntVenom
Messaggi: 4
Iscritto il: 28 giu 2017, 10:33

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da AntVenom »

non ho capito perchè hai aggiunto (n+1)^2 così dal nulla.
Che ragionamento hai fatto?
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da Gerald Lambeau »

AntVenom ha scritto: 28 giu 2017, 13:26 non ho capito perchè hai aggiunto (n+1)^2 così dal nulla.
Che ragionamento hai fatto?
Direi che ha fatto il ragionamento per induzione... Forse non ti è chiaro bene come funziona, quindi lasciami spiegare tutto con calma.

Sia $P(n)$ una proposizione riguardo un certo intero positivo $n$ che vogliamo sia vera per ogni $n$ intero positivo. Vogliamo mostrarlo per induzione. Come si fa? In due semplicissimi passaggi.
Passo 1, o passo base: si dimostra che $P(1)$ è vera. Di solito basta sostituire $n=1$ e verificare che sia vera la proposizione, come hai fatto tu.
Passo 2, o passo induttivo: supponendo per vera $P(n)$, mostriamo che è vera $P(n+1)$, cioè $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Per come si fa rimando a dopo, usando l'esempio che ti serve.
Combinando i due passaggi si ha che $P(1) \Rightarrow P(2) \Rightarrow P(3) \Rightarrow \dots$ all'infinito, perché per ogni valore di $n$ abbiamo, con il passo 2, che la veridicità della proposizione implica anche che rimane vera con $n+1$. Siccome per il passo 1 abbiamo che $P(1)$ è vera, allora sono vere anche tutte le successive per le implicazione mostrate sopra, quindi è vera per ogni intero positivo e siamo felici.

Prendiamo il tuo esempio. $P(n)$ è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Passo base: $P(1)$ è $\displaystyle 1^2=\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}$, che è vera.
Passo induttivo: supponiamo vera $P(n)$, che è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Vogliamo vera $P(n+1)$, che è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$. Facciamo un po' di passaggi:
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)+(n+1)^2$, ma ora abbiamo supposto per vera $P(n)$, quindi possiamo sostituire la somma dei primi $n$ quadrati e ottenere $\displaystyle (1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\\
\displaystyle \frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)((2n^2+4n)+(3n+6))}{6}=\frac{(n+1)(2n(n+2)+3(n+2))}{6}= \\
\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$.
Concatenando tutte le uguaglianze abbiamo ottenuto che $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$, che è $P(n+1)$, questo supponendo per vera $P(n)$, quindi abbiamo mostrato che $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, perciò anche il passo induttivo è stato dimostrato.
Per quanto detto sopra, questo prova che $P(n)$ è vera per ogni $n$ intero positivo, dove $P(n)$ è l'uguaglianze che volevi dimostrare, quindi abbiamo finito.
"If only I could be so grossly incandescent!"
AntVenom
Messaggi: 4
Iscritto il: 28 giu 2017, 10:33

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da AntVenom »

Grazie mille sei stato chiarissimo,grazie ancora per la tua disponibilità.
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da Gerald Lambeau »

Prego! :)
"If only I could be so grossly incandescent!"
AlexThirty
Messaggi: 217
Iscritto il: 20 giu 2015, 20:58

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da AlexThirty »

Gerald Lambeau ha scritto: 28 giu 2017, 13:46 Passo 2, o passo induttivo: supponendo per vera $P(n)$, mostriamo che è vera $P(n+1)$, cioè $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Per come si fa rimando a dopo, usando l'esempio che ti serve.
Combinando i due passaggi si ha che $P(1) \Rightarrow P(2) \Rightarrow P(3) \Rightarrow \dots$ all'infinito, perché per ogni valore di $n$ abbiamo, con il passo 2, che la veridicità della proposizione implica anche che rimane vera con $n+1$
Hey hey hey, chi mi assicura che questo sia vero? E se all'infinito succedesse qualcosa di diverso?
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da Gerald Lambeau »

AlexThirty ha scritto: 28 giu 2017, 19:56
Gerald Lambeau ha scritto: 28 giu 2017, 13:46 Passo 2, o passo induttivo: supponendo per vera $P(n)$, mostriamo che è vera $P(n+1)$, cioè $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Per come si fa rimando a dopo, usando l'esempio che ti serve.
Combinando i due passaggi si ha che $P(1) \Rightarrow P(2) \Rightarrow P(3) \Rightarrow \dots$ all'infinito, perché per ogni valore di $n$ abbiamo, con il passo 2, che la veridicità della proposizione implica anche che rimane vera con $n+1$
Hey hey hey, chi mi assicura che questo sia vero? E se all'infinito succedesse qualcosa di diverso?
Se ti dico in $\aleph_0$ passaggi ti va bene?
Spiegazione seria: ovviamente non infinito letteralmente, nel senso che non faremo mai $P(\aleph_0) \Rightarrow P(\aleph_0+1)$ ($\aleph_0$ o $\aleph_{quello \, che \, ti \, pare}$) né ovviamente possiamo fare infiniti passaggi con $n$ finito (è per questo che usiamo l'induzione), ad ogni "momento nel tempo nel quale proseguiamo virtualmente nel domino dell'induzione" (sempre se abbia senso questa frase) abbiamo fatto solo un numero finito di passi, ma dobbiamo continuare, quindi è una cosa non-stop, e boh basta, ho perso formalità appena ho iniziato questo discorso, probabilmente ho anche detto qualche castroneria (sempre se non ho detto SOLO castronerie).
Ultima modifica di Gerald Lambeau il 29 giu 2017, 19:41, modificato 1 volta in totale.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Avatar utente
Sirio
Messaggi: 317
Iscritto il: 08 set 2016, 22:01

Re: Problema sulla dimostrazione per induzione

Messaggio da Sirio »

Delirio
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
Rispondi